Pour la méthode de Monte-Carlo, une variable de contrôle peut être utilisée afin d'obtenir une réduction de la variance, en exploitant la corrélation entre plusieurs statistiques.
Exposé du principe On cherche à estimer le paramètre , et on dispose d'une estimation non-biaisée de ; autrement dit, . On dispose d'une autre statistique , telle que , et sa corrélation avec , , est connue. En supposant connues toutes ces constantes, on peut construire un nouvel estimateur, pour une constante donnée :
On montre que cet estimateur est un estimateur non-biaisé de , quel que soit le choix de la constante . En outre, on peut montrer que le choix
permet de minimiser la variance de . Pour ce choix de , la variance de l'estimateur vaut alors
Par construction, la variance de sera inférieure à celle de l'estimateur initial , d'où le terme de réduction de variance. Plus la corrélation est importante, plus la réduction de la variance sera importante.
Lorsque les écart-type , , ou la corrélation sont inconnus, on peut les remplacer par leurs estimations empiriques.
Exemple On souhaite évaluer
dont la vraie valeur est . Puisque cette intégrale peut être vue comme l'espérance de , avec la loi uniforme continue standard sur [0;1] et , une estimation de Monte-Carlo est envisageable.
L'estimation classique se base sur un échantillon de n tirages de la loi uniforme et vaut
On introduit comme variable de contrôle . Cette variable est uniforme continue sur [1;2], son espérance vaut 3/2 et sa variance 1/12. Par construction, sa covariance avec est .
À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on peut continuer à évaluer exactement toutes les autres quantités entrant en jeu dans la méthode ; mais le plus pratique reste de remplacer tous les moments par leur contrepartie empirique. Avec un échantillon de réplications, on trouve , et . La constante optimale vaut -0,48175. On trouve les résultats suivants :
Estimation Variance Monte Carlo basique 0,69631 0,02015 Monte Carlo – contrôle 0,69356 0,00063
Grâce à la corrélation massivement négative avec la variable de contrôle, on parvient à réduire très significativement la variance de l'estimateur de Monte-Carlo.
Notes et références
Bibliographie M. Kahn et A. W. Marshall, Methods of reducing sample size in Monte-Carlo computations, Operations Research, 1, 263, 1953. Références Averill M. Law & W. David Kelton, Simulation Modeling and Analysis, , 2000, S. P. Meyn. Control Techniques for Complex Networks, Cambridge University Press, 2007. . en ligne
Liens internes Méthode de Monte-Carlo; Techniques de réduction de la variance: échantillonnage préférentiel (mieux connue sous le terme anglais importance sampling); variable antithétique; ; conditionnement (Monte-Carlo).
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