René Descartes a élaboré de nombreuses théories scientifiques. Chez lui, la science n'est pas séparable de la philosophie. Science et philosophie agissent constamment l'une sur l'autre dans la pensée cartésienne, puisque sa méthode vise à permettre à l'homme « de bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences », à nous rendre « plus sages et plus habiles » et à nous assurer non seulement la connaissance, mais, d'une certaine manière, « la maîtrise et possession de la nature aussi bien que de nous-mêmes ». Telle est la finalité de son système, finalité à laquelle se subordonnent tous les moyens mis en œuvre.
La métaphysique est pour Descartes le fondement de toutes les sciences. Il illustre sa conception du rapport entre les connaissances humaines par cette image : « Ainsi toute la philosophie est comme un arbre, dont les racines sont la métaphysique, le tronc est la physique et les branches qui sortent de ce tronc sont toutes les autres sciences qui se réduisent à trois principales, à savoir la médecine, la mécanique et la morale, j'entends la plus haute et la plus parfaite morale, qui, présupposant une entière connaissance des autres sciences, est le dernier degré de la sagesse. Or comme ce n'est pas des racines, ni du tronc des arbres, qu'on cueille les fruits, mais seulement des extrémités de leurs branches, ainsi la principale utilité de la philosophie dépend de celles de ses parties qu'on ne peut apprendre que les dernières. »
Les Principes de la philosophie, lettre-préface de l'auteur
Mathématiques
thumb|right|200px|Première page de La Géométrie.
Le principal apport de Descartes en mathématiques est l'application des méthodes de l'algèbre (réformée par Viète au début du siècle) aux problèmes de la géométrie, pratiqués presque sans changement depuis l'antiquité (cf. Archimède par exemple). Mais les mathématiques ne sont pour lui qu'un moyen d'éprouver sa méthode, de s'y exercer, car il n'y a pas de science à laquelle on puisse demander des exemples aussi certains et évidents ; mais il n'en ferait pas grand cas si elle ne servait… « qu'à résoudre les vains problèmes dont les calculateurs et les géomètres ont coutume d'amuser leurs loisirs ; et je croirais, dans ce cas, n'avoir réussi qu'à m'occuper de bagatelles avec plus de subtilité peut-être que les autres. »Descartes, Règles pour la direction de l'esprit, règle IV
Algèbre
Pour Descartes, l'algèbre est une méthode de raisonnement sur des quantités inconnues. Il est le premier à utiliser les lettres de la fin de l'alphabet pour les inconnues (x, y, z) et les lettres du début de l'alphabet pour les paramètres connus (a, b, c, d).
Il a systématisé la notation des exposants xn quoiqu'il utilise souvent xx au lieu de x².
En 1637, dans la Géométrie, il utilise plusieurs notations ; par exemple pour 2x² - 5x = 23 : 2xx - 5x Fichier:Égal.JPG 23 2x² - 5x Fichier:Égal.JPG 23 2Aq - 5A égal à 23
Il note que, si un polynôme s'annule en un nombre c, alors il se factorise par x - c. Il énonce une règle portant sur les signes des coefficients du polynôme et permettant de donner un majorant du nombre de racines positives ou de racines négatives. Descartes appelle fausses solutions les valeurs absolues des racines négatives d'une équation. Il ne conçoit guère les nombres négatifs qu'en changeant les signes des quantités où ils interviennent de façon à se ramener à des nombres positifs. Outre les racines positives (« vraies solutions »), négatives (« fausses solutions »), il introduit le vocable « imaginaire » pour désigner d'autres racines telles qu'il n'existe « aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine ». Cependant, Descartes ne saura pas calculer avec ces nombres imaginaires.
Il donne des méthodes pour résoudre des équations du second ou du quatrième degré.
Géométrie
« Tous les Problèmes de géométrie se peuvent facilement réduire à tels termes, qu'il n'est besoin par après que de connaître la longueur de quelques lignes droites, pour les construire. »Descartes, La Géométrie, Livre premier
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Descartes établit, en même temps que Fermat, la géométrie analytique, comme une application de l'algèbre à la géométrie. Le premier livre de La Géométrie est ainsi consacré à la résolution de problèmes à l'aide de droites et de cercles, auxquels il applique des procédés algébriques.
L'utilisation des coordonnées permet à Descartes d'unifier l'étude des courbes, mettant fin à une distinction remontant à l'Antiquité, où l'on privilégiait droites, cercles et coniques par rapport aux autres courbes. Ainsi, dans la Géométrie, résout-il l'équation générale de l'équation du sixième degré par intersection d'un cercle et d'une cubique.
Il donne une méthode pour déterminer la normale à certaines courbes. Pour cela, il cherche le centre d'un cercle touchant la courbe selon un point double. Le cercle sera alors tangent à la courbe et son centre placé sur la perpendiculaire à la tangente. Il procède ainsi pour la conchoïde de Nicomède. Les tangentes au folium seront l'occasion d'échanges avec Roberval et Fermat.
Il utilise cette méthode pour ses ovales, en rapport avec la fabrication de lentilles optiques de qualité. Il détermine également quelle est la tangente en un point de la cycloïde.
Le théorème de Descartes, découvert par René Descartes en 1643, établit une relation entre les rayons de quatre cercles tangents entre eux. Il peut être utilisé pour construire un quatrième cercle tangent à trois autres.
Physique
La physique de Descartes est exposée dans le Monde (1633). Il ne publia pas cet ouvrage à cause de la condamnation de Galilée. Cette partie de sa pensée sera publiée dans les Principes de la philosophie (1644). Il présente ainsi ses intentions au début du Monde : « Et mon dessein n'est pas d'expliquer […] les choses qui sont en effet dans le vrai monde ; mais seulement d'en feindre un à plaisir, dans lequel il n'y ait rien que les plus grossiers esprits ne soient capables de concevoir, et qui puisse toutefois être créé tout de même que je l'aurai feint. » (Le Monde, AT, XI, 36).
Le Monde se présente donc sur le mode fictif et hypothétique (bien qu'il soit difficile de savoir s'il s'agit d'une conviction de Descartes ou d'un stratagème visant à éviter la condamnation pontificale) : « [...] bien que le monde n'ait pas été fait au commencement en cette façon, et qu'il ait été immédiatement créé de Dieu, toutes les choses qu'il contient ne laissent pas d'être maintenant de même nature, que si elles avaient été ainsi produites […] »
La physique cartésienne est fondée sur l'identification de la matière avec la quantité géométrique (materia vel quantitas). Il évacue ainsi du monde physique les formes substantielles et les qualités de la scolastique : la pesanteur et le mouvement sont ramenés à une explication mécaniste. La notion de force, a fortiori d'action à distance, n'apparaît pas chez Descartes. Sa description du monde est essentiellement cinématique, le mouvement se transmettant de proche en proche par contact. L'Univers, dans lequel le vide n'existe pas, est donc rempli de substance animée et de tourbillons (voir la section sur le vide). Toute action occulte étant exclue dans ce mouvement, celui-ci doit être conservé dans sa totalité, par le pouvoir conservateur de Dieu. Si un corps perd du mouvement, il le transmet à un autre. En l'absence d'interaction, un corps poursuivra indéfiniment son mouvement. Il s'agit du principe d'inertie, déjà présent chez Galilée, mais clairement affirmé par Descartes. Au sein de ce système, la théorie des chocs joue un rôle particulier. C'est elle qui est en effet susceptible de permettre des calculs prévisionnels de mouvement. Elle se révélera malheureusement fausse, et la physique cartésienne se heurtera violemment à la physique newtonienne dans la deuxième moitié du . Si la première se base sur des principes métaphysiques, mais ne permet pas d'effectuer des calculs prédictifs, la seconde donne un accord remarquable entre calculs et résultats expérimentaux, mais les cartésiens lui reprochent de ne fournir aucune explication sur la nature des forces introduites. Au cours du , les savants continentaux se rallieront à la physique newtonienne.
Lois du mouvement
Descartes définit ainsi le mouvement : « Mais si, au lieu de nous arrêter à ce qui n'a point d'autre fondement que l'usage ordinaire, nous désirons savoir ce que c'est que le mouvement selon la vérité, nous dirons […] qu'il est le transport d'une partie de la matière, ou d'un corps, du voisinage de ceux qui le touchent immédiatement, et que nous considérons comme au repos, dans le voisinage de quelques autres. » (II, parag. 25, AT, IX-2, 76)
Le mouvement a ainsi un caractère relatif, dont on peut affirmer qu'il n'est guère compatible avec le principe d'inertie.
Dans le Monde, Descartes énonce ses lois du mouvement : « La première est : que chaque partie de la matière, en particulier, continue toujours d'être en un même état, pendant que la rencontre des autres ne la contraint point de le changer. » (AT, XI, 38) « Je suppose pour seconde règle : que, quand un corps en pousse un autre, il ne saurait lui donner aucun mouvement, qu'il n'en perde en même temps autant du sien ; ni lui en ôter, que le sien ne s'augmente d'autant. » (Ibid., 41) « J'ajouterai pour la troisième : que, lorsqu'un corps se meut, encore que son mouvement se fasse le plus souvent en ligne courbe, et qu'il ne s'en puisse jamais faire aucun, qui ne soit en quelque façon circulaire, […], toutefois chacune de ses parties en particulier tend toujours à continuer le sien en ligne droite. » (Ibid., 44) thumb|right|« De tous les mouvements, il n'y a que le droit, qui soit entièrement simple, et dont toute la nature soit comprise en un instant. » Descartes, outre le principe d'inertie, affirme donc le caractère rectiligne du mouvement, illustré par le mouvement à tout moment possible de la pierre d'une fronde. « Donc suivant cette règle, il faut dire que Dieu seul est l'auteur de tous les mouvements qui sont au monde, en tant qu'ils sont, et en tant qu'ils sont droits ; mais que ce sont les diverses dispositions de la matière, qui les rendent irréguliers et courbes. Ainsi que les Théologiens nous apprennent, que Dieu est aussi l'auteur de toutes nos actions, en tant qu'elles sont, et en tant qu'elles ont quelques bontés ; mais que ce sont les diverses dispositions de nos volontés, qui peuvent les rendre vicieuses. » (19)
Lois des chocs Dans les Principes de philosophie, parus en 1644, Descartes énonce les lois des chocs entre deux corps. La question est de savoir, connaissant la vitesse des corps avant leur rencontre, quelle sera leur vitesse après. Pour cela, Descartes utilise le fait que le mouvement est constant, et plus précisément :
« Lorsqu'une partie de la matière se meut deux fois plus vite qu'une autre, et que cette autre est deux fois plus grande que la première, nous devons penser qu'il y a tout autant de mouvement dans la plus petite que dans la plus grande ; et que toutes fois et quantes que le mouvement d'une partie diminue, celui de quelque autre partie augmente à proportion »Descartes, Les Principes de philosophie, principe 36, Que Dieu est la première cause du mouvement, et qu'il en conserve toujours une égale quantité en l'univers.