Le livre X des Éléments d'Euclide est le plus volumineux des treize livres constituant les Éléments. Euclide introduit d'abord les relations de commensurabilité et d'incommensurabilité entre deux grandeurs. Il poursuit ensuite avec les notions de grandeur exprimable et irrationnelle (à laquelle ne correspond qu'imparfaitement notre notion de nombre irrationnel), qui sont relatives à une droite de référence et définies par commensurabilité avec celle-ci. Après avoir donné des propositions générales pour l'usage de ces nouvelles notions, Euclide consacre la majeure partie du livre à une classification de certaines grandeurs irrationnelles en fonction de la façon dont elles peuvent être engendrées. Les opérations utilisées sont la moyenne géométrique entre deux grandeurs, qui correspond algébriquement à la racine carréeEn effet la moyenne géométrique de deux nombres positifs et vaut ., la somme et la différence géométriques.
Description Le livre X des Éléments, de loin le plus volumineux des 13, représente à lui seul à peu près le quart de l'ensembleVitrac dans .. Dans l'édition Heiberg-Menge le livre X contient 4 définitions liminaires, 12 définitions introduites au fil de l'exposé en deux groupes de 6, et 115 propositions. Des définitions apparaissent également dans l'énoncé de certaines propositions. Le présent article suit la traduction pour le contenu du livre X et la numérotation des définitions et propositions, et donc l'édition Dans l'édition (et 1819), le livre comporte 11 définitions liminaires, qui ne sont que les mêmes 4 définitions découpées, aux dépens de la syntaxe, de façon à n'avoir qu'un terme défini par définition ( note 13). Pour les définitions voir et . Il introduit les mêmes 12 définitions intermédiaires et contient 117 propositions. La numérotation des propositions est identique jusqu'à la proposition 9. Les propositions 10 et 11 sont inversées. Elle diverge à partir de la proposition 13 : la proposition 13 de Peyrard est renvoyée en appendice par Heiberg et Menge (, note 142). La proposition 13 de Heiberg et Menge correspond à la proposition 14 de Peyrard ( et ). Plus généralement, pour n de 13 à 115, la proposition numérotée n par Heiberg et Menge devrait correspondre à celle numérotée n + 1 par Peyrard, qui de plus retient une proposition 117 supplémentaire (voir #Propositions suspectes). Cette correspondance est seulement indicative et ne préjuge pas d'éventuels choix distincts pour le texte original..
Les définitions liminaires Commensurabilité/incommensurabilité La première définition introduit les notions opposées de grandeurs commensurables/incommensurables, numérotées 1 et 2.. Elle énonce que , .
En termes modernes, deux grandeurs a et b sont commensurables s'il existe une grandeur c appelée commune mesure telle que a et b soient des multiples entiers de c, incommensurables sinon.
Deux grandeurs commensurables sont nécessairement de même genreVitrac dans .. Il est probable en fait que l'ensemble de la définition 1 est à comprendre pour des grandeurs homogènes, soit un raffinement de la définition 5 du livre V, mais Euclide ne l'explicite pasVitrac dans ..
Dans le cas particulier où les grandeurs considérées sont des droites, Euclide dit plus loin qu'elles sont commensurables en longueurVitrac dans .. Un exemple de deux grandeurs incommensurables (que ne donne pas Euclide, qui n'accompagne pas ses définitions d'exemples) est celui de la diagonale et du côté d'un carré, ce que nous traduirions aujourd'hui par l'irrationnalité de .
Cependant, le carré construit sur ladite diagonale est double du carré construit sur ledit côté ; ces deux carrés sont donc commensurables. D'où la définition 2 qui introduit les notions opposées de commensurables en puissance/incommensurable en puissance : des droites sont commensurables en puissance lorsque leurs carrés sont mesurés par une même aire et incommensurables [en puissance] sinon, numérotées 3 et 4.. La commensurabilité en puissance n'est donc pas un cas particulier de commensurabilité au sens général de la définition 1.
Un exemple de deux grandeurs incommensurables en puissance est donné par le côté du pentagone régulier et le rayon du cercle circonscrit à ce pentagone. Si ce rayon a pour longueur 1, le côté de ce pentagone a une longueur égale à , et nous dirions aujourd'hui que le carré de ce nombre est irrationnel.
Exprimabilité/irrationnalité Les notions de commensurabilité et d'incommensurabilité sont des notions absolues, qui portent sur deux grandeurs. Les notions introduites à la définition 3Dans la numérotation d' cette définition 3 correspond aux définition 6 et 7., sont relatives à une droite de référence arbitrairement choisie. Euclide après avoir introduit cette droite de référence, puis anticipé sur la suite du livre X à propos de l'existence d'une infinité de droites, soit commensurables, soit incommensurables en longueur seulement, soit incommensurables en longueur et en puissance, à cette droite de référence, introduit un nouveau couple de notions exprimable/irrationnel : . Dans la dernière partie de la définition, « incommensurable » est à prendre au sens d'« incommensurable en puissance » (et donc en longueur).
Euclide utilise bien en grec deux termes de racines différentes pour exprimable/irrationnelVitrac dans .. Le terme grec que Vitrac traduit littéralement par « exprimable » a été également traduit en « rationnel » par beaucoup d'auteurs, par exemple PeyrardVitrac dans .. L'opposition droite exprimable/droite irrationnelle ne correspond pas, de toute façon à l'opposition moderne nombre rationnel/nombre irrationnel. Par exemple la diagonale d'un carré dont on prend un côté comme droite de référence est exprimable (car commensurable en puissance avec la droite de référence) et n'est donc pas irrationnelle au sens d'EuclideVitrac dans ..
La définition 4Dans la numérotation de cette définition 4 correspond aux définitions 8, 9, 10 et 11. étend d'abord l'opposition exprimable/irrationnel aux surfaces : celles qui sont commensurables avec le carré de la droite de référence sont appelées exprimables, et irrationnelles celles qui sont incommensurables avec celui-ci. Euclide accompagne ces définitions d'une nouvelle définition de « droite irrationnelle » qui s'avère équivalente à celle de la définition 3.
Ainsi la droite diagonale du carré de côté pris comme droite de référence est exprimable, mais l'aire du rectangle construit sur cette diagonale et de même largeur que la droite de référence est irrationnelle.
Les propositions Afin de rendre les notions plus compréhensibles, il nous arrivera d'adopter des notations algébriques modernes, qui bien entendu, ne sont absolument pas du fait d'Euclide.
Le corpus principal des propositions du livre X s'achève avec la proposition 111 et le porisme (ou corollaire) récapitulatif qui la suit, et qui énonce essentiellement que les 13 espèces d'irrationnelles introduites par Euclide sont bien toutes distinctesVitrac dans .. S'y ajoutent 4 propositions (prop.112-115) dont l'authenticité est discutéeVitrac dans .
Le découpage des propositions qui suit est repris (hors certains intitulés) de .
Premières propositions (1 - 35) Propositions préliminaires (1 - 18) Une application de l'axiome d'Archimède. La prop.1 énonce que deux grandeurs inégales étant proposées, si l'on retranche de la plus grande une partie plus grande que sa moitié, si l'on retranche du reste une partie plus grande que sa moitié, et si l'on fait toujours la même chose, il restera une certaine grandeur qui sera plus petite que la plus petite des grandeurs proposées. Cette propriété est utilisée dans le Livre XII pour comparer des aires ou des volumes par la méthode d'exhaustion, et est également largement utilisée par Archimède dans ses travaux. Caractérisation de l'incommensurabilité et algorithme d'Euclide. La prop.2 énonce que, deux grandeurs inégales étant proposées, et si la plus petite étant toujours retranchée de la plus grande, le reste ne mesure jamais le reste précédent, ces grandeurs seront incommensurables. Cette proposition caractérise les grandeurs incommensurables par le fait qu'une application de l'algorithme d'Euclide à ces grandeurs ne se termine pas. A contrario, si les grandeurs sont commensurables, le même algorithme se termine et donne la mesure commune (prop.3). On peut itérer pour trouver la mesure commune de trois grandeurs (prop.4). Propriétés de la commensurabilité. Les prop.5 à 9 établissent la relation entre raison de grandeurs commensurables et raison entre entiers. La proposition 10 explique comment construire des droites incommensurables en longueur ou en puissanceLes propositions 10 et 11 sont échangées dans , vis-à-vis de l'édition Heiberg-Menge. IL s'agit donc dans cette édition de la proposition 11 .. La proposition 11 énonce la compatibilité de la commensurabilité avec la proportionnalitéCette proposition est numérotée 10 dans .. La proposition 12 énonce la transitivité de la relation de commensurabilité, et sa conséquence immédiate, la proposition 13, que l'incommensurabilité à une grandeur donnée est stable par commensurabilitéCette proposition est numérotée 14 dans .. Les propositions 15 et 1616 et 17 dans . explorent la compatibilité de la commensurabilité avec l'opération sur les grandeurs correspondant à l'addition parle de composition des grandeurs, composition introduite au livre V, voir ..
Début de la classification (19 - 28) La prop.21 introduit une notion nouvelle, celle de grandeur médiale. Elle énonce essentiellement que le rectangle dont les côtés sont des droites exprimables, commensurables en puissance seulement, est irrationnel, le côté du carré d'aire égale à ce rectangle étant une droite irrationnelle appelée médialeProposition numérotée 22 dans .. Une médiale est donc la moyenne géométrique de deux droites exprimables et commensurables en puissance seulementVitrac dans ..
Algébriquement, si on prend comme unité la longueur de la droite de référence, les deux côtés auront des longueurs de la forme et , et étant entiers. La médiale aura donc pour longueur .
La prop. 22, établit qu'un rectangle de côté une droite exprimable, et de même aire qu'un carré de côté une médiale a pour autre côté une droite exprimable incommensurable en longueur avec le premier côté (donc commensurable en puissance seulement (la définition de médiale n'en donne qu'un cas particulier). De telles aires seront également qualifiées de médiales : rectangle de côtés deux droites exprimables commensurables en puissance seulement, carré de côté une médiale, et plus généralement rectangle de côtés deux médiales commensurables en longueur (prop. 24).
La prop. 23 donne la stabilité de la classe des droites médiales par commensurabilité en longueur. elle est suivie d'un porisme qui étend le résultat aux aires médiales et donc, implicitement, à la commensurabilité en puissance pour les droites médiales. Les prop. 25-28 donnent d'autres propriétés des médiales.
Problèmes de construction (29 - 35) Les prop.29 à 35 expliquent comment construire des longueurs de tel ou tel type (commensurables en longueur, commensurables en puissance, médiales, irrationnelles ...) selon certaines contraintes.
Classification de sommes de deux grandeurs (36-72)