thumb|upright=1.5|Polynômes de Legendre
En mathématiques et en physique théorique, les polynômes de Legendre constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux. Ce sont des solutions polynomiales , sur le segment , de l'équation différentielle de Legendre : , dans le cas particulier où le paramètre est un entier naturel.
De façon équivalente, les polynômes de Legendre sont les fonctions propres de l'endomorphisme de défini par : , pour les valeurs propres .
Ces polynômes orthogonaux ont de nombreuses applications tant en mathématiques, par exemple pour la décomposition d'une fonction en série de polynômes de Legendre, qu'en calcul numérique des intégrales notamment dans les méthodes de quadrature de Gauss, qu'en physique, où l'équation de Legendre apparaît naturellement lors de la résolution des équations de Laplace ou de Helmholtz en coordonnées sphériques.
Définitions et propriétés générales Définition en tant que solution de l'équation de Legendre On appelle équation de Legendre l'équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2L'étude ci-dessous de cette équation constitue — aux notations près, le de cette source désignant notre — le problème 9.3 de (énoncé p. 225 et corrigé p. 233, 234 et 235). : , avec en général Alors, sans perte de généralité, , puisque pour .. On trouve les solutions non nulles de cette équation sous forme de séries entières en utilisant la méthode de Frobenius. D'après le théorème de Fuchs, puisque les seuls points singuliers de cette équation sont et En effet, l'équation différentielle se met sous la forme , avec et ., le rayon de convergence d'une telle série vaut au moins . Si n'est pas entier, ce rayon est exactement égal à car la série ne peut pas converger à la fois en et en En effet, les coefficients d'une telle série entière vérifient la relation de récurrence , or donc d'après le critère de Gauss (corollaire de celui de Kummer), chacune des deux sommes et est infinie sauf si son premier terme est nul (auquel cas tous ses termes sont nuls), si bien que ou est infinie (puisqu'on a exclu la solution nulle)..
En revancheD'après la relation de récurrence précédente., si est un entier naturel, une (et une seule) de ces séries entières converge sur et vaut au point (cette solution est alors polynomiale, de degré et de même parité que cet entier).
On peut donc définir le polynôme de Legendre (pour tout entier naturel ) comme l'unique solution définie en et du problème de Cauchy. :
Définition en tant que fonctions propres d'un endomorphisme De façon plus abstraite, il est possible de définir les polynômes de Legendre comme les fonctions propres pour les valeurs propres , avec entier, de l'endomorphisme défini sur :
.
Cette définition plus abstraite est intéressante notamment pour démontrer les propriétés d'orthogonalité des polynômes de Legendre .
Fonction génératrice
On peut aussi définir cette suite de polynômes par sa série génératrice : . Cette expression intervient notamment en physique, par exemple dans le développement à grande distance du potentiel électrostatique ou gravitationnel (développement multipolaire).
Si l'on considère qu'en général est complexe, le calcul des coefficients de la série de Laurent donne alors :
où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens trigonométrique.
Il est possible de définir les polynômes de Legendre par cette fonction génératrice, comme les coefficients de l'expansion.
Autres définitions Formule de récurrence de Bonnet Cette formule permet rapidement d'obtenir l'expression du polynôme de Legendre d'ordre à partir de ceux d'ordres et .
Pour tout entier :
avec et . Elle se démontre facilement à partir de la fonction génératrice.
Une autre formule de récurrence Cette formule permet d'obtenir l'expression du polynôme de Legendre d'ordre à partir de celui d'ordre .
Pour tout entier , on a :
Orthogonalité Les polynômes de Legendre sont aussi caractérisés — à normalisation près par la condition — par le fait que est de degré et pour tous entiers distincts , .
Autrement dit, les polynômes de Legendre sont deux à deux orthogonaux par rapport au produit scalaire défini sur par la relation : .
Formule de Rodrigues
Le polynôme peut également être défini par la formule de Rodrigues : . On déduit cette égalité de la caractérisation précédenteVoir par exemple ., en vérifiant d'une part (par intégrations par parties répétées) que est orthogonal à , et d'autre part (par la règle de Leibniz) que la valeur en de est .
Définitions sous forme de somme On définit ce polynôme de deux façons sous forme de somme :
(on en déduit )
où on a utilisé :
Quelques polynômes Les onze premiers polynômes sont : thumb|upright=1.5|right|Les 20 premiers polynômes de Legendre
Propriétés Degré Le polynôme est de degré . Coefficient dominant Le coefficient dominant de est .
Base Pour tout entier naturel , la famille étant une famille de polynômes à degrés étagés, elle est une base de l'espace vectoriel .
Parité Le polynôme a même que l'entier . On peut exprimer cette propriété par :
(en particulier, et ).
Norme Le carré de la norme, dans L2([–1, 1]), estDémontré par exemple dans la question II.2.c du sujet de CAPES 1989 et dans (corollaire 2.7).
Scindé à racines simples Pour tout entier , le polynôme est scindé à racines simples, toutes ses racines appartenant à l'intervalle (c'est une propriété générale des suites de polynômes orthogonaux, qui se déduit classiquement de la définition ci-dessus par orthogonalité et degré).
Théorème d'addition Si , , et un réel quelconque, alors
ce qui est équivalent à
On a aussi
sous l'hypothèse que .
Lien avec l'équation de Laplace L'équation différentielle qui définit les polynômes de Legendre est naturellement liée à l'équation de Laplace , écrite en coordonnées sphériques, qui intervient notamment en électrostatique. En effet, lors de la recherche d'une solution ne dépendant pas de l'angle d’azimut sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable, l'équation vérifiée par ainsi obtenue est de la forme : , où est la constante de séparation. Le changement de variable permet de vérifier que suit l'équation de Legendre.. Les seules solutions physiquement acceptables, c'est-à-dire qui ne divergent pas pour sont alors celles pour lesquelles est entier, donc les polynômes de LegendreLe cas plus général où l'on cherche, par séparation des variables, les solutions de la partie angulaire de l'équation de Laplace dépendant à la fois de et , permet d'introduire les polynômes associés de Legendre, étroitement liés aux harmoniques sphériques..
Décomposition en série de polynômes de Legendre Décomposition d'une fonction holomorphe Toute fonction , holomorphe à l'intérieur d'une ellipse de foyers -1 et +1, peut s'écrire sous la forme d'une série qui converge uniformément sur tout compact à l'intérieur de l'ellipse :
avec
Décomposition d'une fonction lipschitzienne On note le quotient du polynôme par sa norme.
Soit une application continue sur . Pour tout entier naturel , on pose
Alors la suite est de carré sommable, et permet d'expliciter le projeté orthogonal de sur :
On a de plus : , avec le noyau
Autrement dit, l'égalité
est vraie non seulement au sens L2 mais au sens de la convergence simple sur .
Intégration numérique d'une fonction Afin de calculer numériquement l'intégrale d'une fonction sur l'intervalle , l'une des méthodes les plus populaires est la méthode de quadrature de Gauss-Legendre fondée sur les propriétés des polynômes de Legendre. Elle prend la forme :
avec : l'ensemble des zéros du polynôme de Legendre ; les poids respectifs : .
En particulier, la formuleOn trouvera une table pour les cinq premières formules dans . à l'ordre est exacte pour toute fonction polynomiale de degré .
Applications en physique
Les polynômes de Legendre, tout comme ceux d'Hermite ou de Laguerre, apparaissent dans diverses branches de la physique ou du calcul numérique car ils permettent le calcul d'intégrales définies sans qu'il soit nécessaire de les évaluer analytiquement, à condition toutefois que par un changement de variable adéquat, on se place dans l'intervalle d'intégration [−1, 1].
Les polynômes de Legendre permettent de développer en série les fonctions du type (cette formule se déduit directement de la fonction génératrice) :
où et sont les normes des vecteurs et , respectivement, et est l'angle entre ceux-ci. Un tel développement est utilisé par exemple dans l'étude du dipôle électrique ou de façon plus générale dans l'expression du champ électrique ou gravitationnel à grande distance d'une distribution continue de charge ou de masse (développement multipolaire).
Les polynômes de Legendre apparaissent également dans la résolution de l'équation de Laplace en électrostatique,, pour le potentiel électrique dans une région de l'espace vide de charges (en coordonnées sphériques) dans le cas d'un problème présentant une symétrie axiale (le potentiel est alors indépendant de l'angle azimutal ), procédant par la méthode de séparation des variables. La solution de l'équation de Laplace se met alors sous la forme :
Notes et références Notes
Références
Voir aussi Articles connexes Suite de polynômes orthogonaux Mesures secondaires Fonction de Legendre Polynômes de Jacobi , dont les polynômes de Legendre constituent le cas particulier Polynômes de Gegenbauer , dont les polynômes de Legendre constituent le cas particulier Inégalités de Turán
Bibliographie I. S. Gradshteyn et I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (éd.), Academic Press, éd., 2007 et errata Georgette de Nockere, Tables numériques des polynômes de Legendre, ARB, éd., 1949 Joseph Kampé de Fériet, Fonctions de la physique mathématique, CNRS, 1957 Liens externes
Sujet de CAPES 1989 et corrigé
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