En mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction zêta de Riemann ; des polynômes analogues, correspondant à une fonction génératrice voisine, sont connus sous le nom de polynômes d'Euler.
Définition Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes telle que :
Fonctions génératrices La série génératrice des polynômes de Bernoulli est .
La série génératrice des polynômes d'Euler est .
Les nombres de Bernoulli et d'Euler Les nombres de Bernoulli sont donnés par .
Les nombres d'Euler sont donnés par .
Expressions explicites pour les petits ordres
Les premiers polynômes de Bernoulli sont :
Les quelques premiers polynômes d'Euler sont :
Propriétés des polynômes de Bernoulli Différences Les polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul ombral utilisé par Édouard Lucas, par exemple.
Dérivées
Translations
Symétries
Autres propriétés
Cette dernière égalité, déduite de la formule de Faulhaber, vient de l'égalité : ou, plus simplement, de la somme télescopique .
Valeurs particulières Les nombres sont les nombres de Bernoulli.
Les nombres de Bernoulli de rang impair différent de 1 sont nuls :
Série de Fourier La série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet, donnée par le développement. : , valide seulement pour 0 ≤ x ≤ 1 lorsque n ≥ 2 et pour 0 < x < 1 lorsque n = 1.
C'est un cas particulier de la formule de Hurwitz.
Notes et références
Voir aussi Bibliographie , chap. 23 Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, 1976, Springer-Verlag, New York, chap. 12.11
Articles connexes Formule de Faulhaber Formule d'Euler-Maclaurin Jacques Bernoulli
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