Liste de critères de divisibilité

Ceci est une liste de critères de divisibilité pour des nombres écrits en base décimale, premiers ou puissances de nombre premier, inférieurs à .

Ces critères sont exposés sans démonstration. Pour les démonstrations ou les méthodes ayant permis d'établir ces critères, voir l'article « Critère de divisibilité ».

Pour la divisibilité par un nombre composé dont on connaît la décomposition en produit de facteurs premiers , il suffit d'appliquer la règle générale : un nombre est divisible par si et seulement s'il est divisible par chacun des . Par exemple : un nombre est divisible par seulement s'il est divisible par et par .

Dans tout cet article, un entier naturel de chiffres est représenté par , où est le chiffre des unités, des dizaines, des centaines

Critère de divisibilité par 2, 5 ou 10 élevés à une puissance n Tout nombre entier est divisible par .

Critère de divisibilité par 2

Un nombre est divisible par si et seulement si ses derniers chiffres forment un nombre divisible par .

Exemples Un nombre est divisible par si et seulement si le nombre formé par ses derniers chiffres est divisible par . Un nombre est divisible par si et seulement si le nombre formé par ses derniers chiffres est divisible par . Application : est divisible par car est divisible par .

Critère de divisibilité par 5

Un nombre est divisible par si et seulement si ses derniers chiffres forment un nombre divisible par .

Exemples Un nombre est divisible par si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par , c'est-à-dire si son écriture « se termine » par , , ou . Application : est divisible par car il se termine par . est divisible par car est divisible par .

Critère de divisibilité par 10

Pour non nul, un nombre est divisible par 10 si et seulement si ses derniers chiffres sont égaux à .

Exemple est divisible par car ses derniers chiffres sont des . est divisible par car son dernier chiffre est un . Entiers inférieurs à 10

Divisibilité par : Énoncé du critère : Exemple : 2 Un nombre est pair, c'est-à-dire divisible par 2 = 2, si et seulement si son chiffre des unités est ou . est pair car il se termine par qui est pair. 3 Un nombre est divisible par si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par . (Par récurrence, cela implique que son résidu est ou .) est divisible par car , et est divisible par . 4 Un nombre est divisible par 4 = 2 si et seulement si est divisible par . est divisible par car qui est divisible par . 5 Un nombre est divisible par 5 = 5 si et seulement si son chiffre des unités est ou . est divisible par car il se termine par . 6 Un nombre est divisible par si et seulement s'il est divisible par et par . est divisible par , car il est pair et divisible par . 7 est divisible par si et seulement si l'est (pour d'autres critères, voir section suivante). est divisible par car l'est. 8 Un nombre est divisible par 8 = 2 si et seulement si est divisible par . est divisible par car qui est divisible par . 9 Un nombre est divisible par si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par . est divisible par car l'est. 10 Un nombre est divisible par 10 = 10 si et seulement si son chiffre des unités est . est divisible par car il se termine par .

Critères de divisibilité par 7

Lemmes de divisibilité par 7 Première méthode : Un nombre est divisible par si et seulement si la somme de son nombre de dizaines et de cinq fois son chiffre des unités l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à . Le nombre est divisible par si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple est divisible par car , , et .

Deuxième méthode : Un nombre est divisible par si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités l'est. Si cette différence est négative, on peut la remplacer par sa valeur absolue. En répétant cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à , le nombre de départ est divisible par si et seulement si le résultat final est ou .

Exemple est divisible par car , , et .

Critère pour un grand nombre Une méthode, basée seulement sur le fait que est congru à –1 modulo 7, est de séparer ce nombre par tranches de chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des et des entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et ce résultat est divisible par si et seulement si le nombre de départ l'était. Exemple Soit le nombre . On le sépare par tranches de trois chiffres à partir des unités : . On intercale alternativement des et des : . On effectue l'opération ainsi écrite : . On regarde si est divisible à l'aide du lemme de divisibilité par : est divisible par donc l'est.

Comme est le produit de et , la même méthode s'applique pour 11 et 13.

Méthode de Toja Cette méthode est basée sur le fait que est congru à modulo , dont on déduit quedonc est divisible par si et seulement si l'est. On peut bien sûr remplacer au passage chaque par n'importe quel entier qui lui est congru modulo . Le principe. est donc de découper le nombre par tranches de chiffres et chercher la distance entre chaque nombre de chiffres et le multiple de le plus proche (alternativement par excès et par défaut). Exemple Soit le nombre . On le sépare par tranches de deux chiffres à partir des unités : . À partir de la droite, le multiple de le plus proche par défaut est : distance . Pour la deuxième paire, le multiple de le plus proche par excès est : distance . Pour la troisième paire, le multiple de le plus proche par défaut est 77 : distance . Pour la quatrième paire, distance : Le nombre de départ est multiple de si et seulement si

est multiple de (les différents « restes » sont écrits dans l'ordre inverse). On trouve de même que la divisibilité par de équivaut à celle de , puis de , donc est divisible par .

Méthode rapide

Comme dans le calcul du nombre modulo par la méthode de Toja, on va regrouper les chiffres par groupe de , en partant de la droite. Ici on va utiliser le fait que vaut modulo .

La première étape, valable d'ailleurs pour toutes les méthodes, consiste à remplacer tous les chiffres par leur valeur modulo . Autrement dit à remplacer le par , le par , le par . Soit le nombre . On le remplace par . Dans la deuxième étape on regroupe les chiffres par pour créer des nombres de à . . On les calcule modulo . C'est l'écriture du nombre base , avec des chiffres de à . On va utiliser la méthode de Horner : on dépile le chiffre le plus à gauche que l'on ajoute au nombre en cours ( au départ) et on multiplie par .

Chaque ligne de calcul se fait aisément de tête, et chaque résultat intermédiaire peut être inscrit sur une seconde ligne :

On obtient , le nombre est divisible par .

Utilisation d'un diagramme Cette techniqueLe principe sur un exemple est détaillé dans , The Moscow Puzzles: 359 Mathematical Recreations, Dover Publications, 2014 ( éd. 1971), , . s'appuie sur l'écriture du nombre en base et sur les congruences modulo . L'utilisation d'un diagramme est proposée en par David Wilson... Sur un cercle, on dispose tous les nombres de à , c'est-à-dire tous les restes possibles modulo . On relie ensuite par une flèche chaque reste avec le reste modulo de .

Le diagramme s'utilise alors de la manière suivante : pour l'entier , égal à , on se place sur la case et l'on se déplace sur le cercle de cases. On obtient ainsi le reste de a modulo ; on emprunte alors la flèche qui part de la case où l'on se trouve et, à partir du point d'arrivée de la flèche, on se déplace sur le cercle de cases. On obtient ainsi le reste de modulo ; on recommence alors le processus (emprunt d'une flèche, puis déplacement sur le cercle) jusqu'à . On obtient alors le reste modulo de . Le nombre est divisible par si et seulement si la case d'arrivée est la case .

thumb|Diagramme de divisibilité par . Exemple Pour le nombre . On passe de à . On emprunte la flèche qui mène de à et l'on se déplace de cases (i. e. on reste sur place). On se trouve en . On emprunte la flèche qui mène de à et l'on se déplace de cases. On se trouve en . On emprunte la flèche qui mène de à et l'on se déplace de cases (i. e. on se déplace d'une case). On se trouve en . On emprunte la flèche qui mène de à et l'on se déplace d'une case. On se trouve en . Le nombre est bien divisible par .

Remarque : cette méthode peut se généraliser à toute autre divisibilité par et à toute autre base en construisant le diagramme adapté (les nombres de à sur le cercle, des flèches reliant au reste modulo de ).

Critère de divisibilité par 11

Première méthode

Pour déterminer si un nombre est divisible par : on calcule la somme des chiffres en position impaire ; on calcule la somme des chiffres en position paire ; est divisible par si et seulement si la différence (ou ) est divisible par .

Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.

Exemple

Considérons le nombre .

est divisible par donc l'est aussi.

On peut également effectuer le calcul : .

« Mini-critère »

Un nombre de trois chiffres est divisible par si et seulement si la somme des deux chiffres extrêmes est égale au chiffre du milieu () ou à plus le chiffre du milieu ().

Exemples est divisible par parce que . Vérification : . 825 est divisible par parce que . Vérification : .

Deuxième méthode

On sépare le nombre par tranches de deux chiffres à partir des unités en intercalant des et l'on effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par si et seulement si le nombre de départ l'était.

Exemple Reprenons l'exemple précédent ; on obtient : . Comme le résultat a plus de deux chiffres, on recommence : . est divisible par donc l'est aussi.

Troisième méthode Un nombre est divisible par si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et son chiffre des unités est divisible par .

Exemples est divisible par car , et est divisible par .

n'est pas divisible par car , , et n'est pas un multiple de .

Démonstration

Soit un entier naturel alors s'écrit de manière unique où est le nombre de dizaines et le chiffre des unités.

et donc congru à modulo est équivalent à congru à modulo .

Critère de divisibilité par 13

Le critère de divisibilité par 13

Le nombre est divisible par si et seulement si l'est. Pour voir si un nombre est divisible par , il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à (). Le nombre de départ est divisible par si et seulement si le résultat final est ou .

Exemples est divisible par car . est divisible par car et .

Critère pour un grand nombre

Pour savoir si un grand nombre est divisible par , il suffit, puisque est congru à modulo comme modulo , d'appliquer la même réduction que dans le deuxième des trois critères ci-dessus de divisibilité par 7 : séparer ce nombre par tranches de chiffres en partant des unités et insérer alternativement des et des entre les tranches.

On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par si et seulement si le grand nombre considéré l'était.

Exemple Soit le nombre . On le sépare par tranches de trois à partir des unités : . On intercale alternativement des et des : . On effectue l'opération ainsi écrite : . Le résultat est négatif, mais on peut prendre sa valeur absolue et continuer. D'après l'exemple précédent, est divisible par donc l'est aussi.

Critère de divisibilité par 15 Un nombre est divisible par si et seulement si (ou sa valeur absolue) l'est. Pour le démontrer, il suffit de remarquer que et ce pour tout ce qui se démontre bien par récurrence. Si le nombre résultant du calcul est trop grand, il suffit de répéter l'opération.

Exemples est divisible par car est divisible par . n'est pas divisible par car n'est pas divisible par .

Critère de divisibilité par 17