Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction , où et sont deux entiers relatifs (avec non nul). Les nombres irrationnels peuvent être caractérisés de manière équivalente comme étant les nombres réels dont le développement décimal n'est pas périodique ou dont le développement en fraction continue est infini.
On distingue, parmi les nombres irrationnels, deux sous-ensembles complémentaires : les nombres algébriques non rationnels et les nombres transcendants. Les nombres algébriques sont définis comme les racines des polynômes à coefficients rationnels ; cet ensemble dénombrable inclut tous les nombres rationnels, mais aussi certains irrationnels. Les nombres non algébriques, comme et , sont dits transcendants ; ils sont tous irrationnels. L'ensemble des nombres transcendants est non dénombrable. Cependant, certains ensembles de nombres irrationnels classiquement étudiés peuvent aussi regrouper à la fois des nombres algébriques et des nombres transcendants ; c'est par exemple le cas des nombres calculables. On conjecture également qu'il existe des nombres normaux algébriques, et on en connaît qui sont transcendants.
Les premiers nombres irrationnels découverts sont les racines carrées des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, entre autres , dont l'irrationalité a été établie dans l'Antiquité ; plus généralement les nombres constructibles irrationnels, sous-ensemble des nombres algébriques dans lequel on trouve entre autres le nombre d'or, ont une grande importance historique car ils sont liés aux problèmes de construction à la règle et au compas essentiels à la géométrie de l'époque d'Euclide.
L'irrationalité de et celle de ont été établies bien plus tard, au ; ce sont les premiers nombres transcendants dont on a prouvé l'irrationalité. Il a de plus été montré au que presque tous les nombres réels sont irrationnels, et même transcendants. En 2018, on ignore le statut de plusieurs constantes importantes telle que la constante d'Euler-Mascheroni.
Histoire Les travaux antiques les plus connus concernant les irrationnels ont été produits dans le monde grecCertains historiens ont estimé que les Śulba-Sūtras, des traités difficiles à dater qui auraient été composés entre 800 et , témoigneraient de la connaissance de l'irrationalité dans l'Inde de l'époque ; ils se fondent sur une construction de la diagonale du carré qui peut s'interpréter comme une (bonne) approximation rationnelle de √2, et sur la mention que cette construction n'est pas exacte, voir . Mais pour d'autres, il s'agit là de « spéculations injustifiées » qui ignorent tant la vraie signification de l'irrationalité que l'objet pratique des Śulba-Sūtras ..
Antiquité grecque L'historiographie a longtemps décomposé l'étude de l'irrationalité en trois grandes étapes : la découverte, sans doute par un pythagoricien., d'un cas particulier de grandeurs non commensurables, puis l'établissement de l'irrationalité de quelques exemples analogues et enfin, l'étude systématique de celle-ci, notamment par Euclide. Il n'est cependant pas aisé de reconstituer l'enchaînement précis des différentes phases, car tous les textes de l'époque ne sont pas connus et ceux qui le sont ont fait l'objet de controverses, concernant notamment leur interprétation.
Vocabulaire employé L'une des difficultés de l'étude des textes antiques traitant d'irrationalité réside dans le fait que les termes employés pour ce faire ainsi que leur sens varient selon les époques, et que certains peuvent apparaître conjointement dans un même texte. En grec ancien, le concept d'irrationalité peut ainsi être représenté par les mots suivants. : : inexprimable ; : incommensurable, ce terme pouvant être précisé : : incommensurable en longueur ; : commensurable en carré ; : littéralement qui ne peut former de rapport ; c'est le plus proche du terme moderne irrationnel.
De tous ces termes, seul n'apparaît pas dans le des Éléments d'Euclide. En revanche, le mot (qui d'un point de vue strictement lexical est le contraire du mot ) est employé comme le contraire du mot signifiant irrationnel ; sa définition inclut cependant le concept (commensurable en carré), définition 3. : le nombre serait donc « rationnel » selon cette définition, ce qui n'est pas le cas dans des textes plus anciens comme ceux de Platon. Il y a donc eu un glissement de sens entre les époques des deux auteurs, et la notion moderne d'irrationalité ne se superpose pas parfaitement à celle d'Euclide. De plus, il n'existe pas pour les Grecs de nombre irrationnel, mais des couples de grandeurs telles que la première n'est pas un multiple rationnel de la seconde, VII, 820 a - c..
La compréhension des textes est rendue difficile également par l'utilisation de termes techniques traduisant des concepts n'ayant pas d'équivalent dans les langues actuelles. Par exemple, le nom signifie « puissance » dans la langue courante, mais cette acception n'a pas de sens dans les textes mathématiques antiques. Il a souvent été traduit par « racine carrée » en raison du contexte dans lequel il est employé. Cependant, son sens véritable, probablement emprunté à la finance où il exprime la valeur d'une monnaie, est plutôt la désignation d'un carré dont l'aire est égale à celle d'une surface déjà identifiée ; ainsi, le d'un rectangle de longueur et de largeur est un carré d'aire . Ce terme, attesté dès l'époque d'Hippocrate de Chios, a introduit de nombreux contresens dans l'interprétation de plusieurs textes, dont le Théétète de Platon.
Découverte des irrationnels
La date à laquelle la notion d'irrationalité a été découverte par les Grecs n'est pas connue avec certitude : elle est généralement située entre le début du et le premier quart du . Elle est en tout cas antérieure au livre de Démocrite intitulé Des Nombres irrationnels et des Solides, qui date de cette période.
Contrairement à une idée reçue, rien n'indique avec certitude que la découverte de l'incommensurabilité provienne de l'étude de la diagonale et de l'un des côtés d'un carré., propriété équivalente à l'irrationalité de . La découverte est parfois attribuée au mathématicien Hippase de Métaponte pour ses travaux sur la section d'extrême et de moyenne raison, maintenant appelée nombre d'or, qui est également le rapport de la longueur de la diagonale d'un pentagone régulier sur celle d'un de ses côtés.. Il est également possible que la notion d'irrationalité ait été mise à jour par l'étude du problème arithmétique de la recherche d'un entier qui soit à la fois un carré parfait et le double d'un autre carré parfait ; l'insolubilité de ce problème est en effet équivalente à l'irrationalité de . Si la découverte en elle-même reste entourée de mystère, l'exemple le plus connu chez les intellectuels de l'époque de Platon est celui de l'incommensurabilité de la diagonale et du côté d'un carré.
La nature exacte des premières grandeurs non commensurables découvertes n'est pas connue, et la manière dont cette non-commensurabilité a été établie ne l'est pas plus et plusieurs idées de démonstration ont été imaginées. L'une d'elles repose sur le principe du pair et de l'impair.., elle est notamment citée par Aristote.. D'autres reconstitutions des preuves antiques sont envisagées : certaines ont recours à une descente infinie, d'autres à un algorithme qu'en termes modernes on apparenterait aux fractions continues. Cette dernière technique serait héritée des cultures de MésopotamieVoir, pour un exposé des différentes méthodes possibles : ..
Étude ultérieure des irrationnels À la suite de la découverte d'un cas particulier d'irrationalité, il y a longtemps eu consensus pour affirmer que l'étude des grandeurs incommensurables s'était poursuivie par l'établissement par Théodore de Cyrène d'autres exemples se ramenant aux nombres (pour entier non carré compris entre et ) — , citant .. Cette supposition a donné lieu à des recherches concernant la méthode utilisée pour ce faire, et les raisons qui ont empêché Théodore de Cyrène d'aller plus loin que ; il est cependant probable qu'elle soit erronée. En effet, elle résulte d'un passage du Théétète, mais le texte de Platon ne mentionne pas de démonstration et n'indique donc pas que Théodore en aurait produit une. Une autre hypothèse est que les premières preuves d'irrationalité reposent essentiellement sur la notion de parité, ce qui ne permet pas de montrer l'irrationalité de .. D'autres hypothèses, invérifiables, ont été proposées comme celle qui via les nombres triangulaires énonce que si 8 ne divise pas alors est irrationnel ; 17 est le plus petit nombre pour lequel cette condition suffisante ne permet pas de conclure, puisque 16 est divisible par 8..
Il est difficile, en l'état actuel des connaissances, de proposer une chronologie précise des débuts de l'étude grecque de l'incommensurabilité. Le livre X des Éléments, écrit vers -300, présente une classification des grandeurs irrationnelles ; on ne sait cependant pas de quand datent les propositions qui y sont démontrées, les textes mathématiques antérieurs étant perdus.
Par la suite, les mathématiciens grecs ont développé des méthodes d'évaluation de grandeurs incommensurables. Archimède a notamment utilisé la méthode d'exhaustion pour donner une estimation de et Héron d'Alexandrie expose une méthode pour évaluer une racine carréeCes propriétés sont énoncées ici avec une formulation moderne, ni ni les racines carrées n'étant considérés comme des nombres à proprement parler dans l'Antiquité grecque..
Débat sur l'existence antique d'une « crise des fondements » Une légende, plusieurs fois rapportée, indique qu'un pythagoricien, parfois nommé Hippase de Métaponte, périt noyé (jeté à la mer depuis une barque) pour avoir révélé aux profanes l'incommensurabilité, transcription d’une conférence donnée le à Grenoble, .. Cette légende indiquerait que la découverte serait bien pythagoricienne et qu'elle aurait fait l'objet d'un tabouSous la forme indiquée ici, la légende est critiquée. Le narrateur principal, Jamblique, est à la fois tardif et imprécis dans ses témoignages. La référence suivante précise que : , cf. . ; elle est souvent citée pour accréditer la thèse selon laquelle l'irrationalité aurait posé un problème fondamental aux mathématiciens antiques.
L'existence d'une crise profonde chez les mathématiciens et les philosophes grecs due à la découverte de l'irrationalité a été longtemps admise par les historiens., et ce dès les travaux de Paul Tannery en 1887., et plus encore dans les premières décennies du .. D'autres historiens ont par la suite émis l'hypothèse que la crise engendrée par les irrationnels était plutôt une reconstruction a posteriori par laquelle les mathématiciens du auraient calqué leur crise des fondements sur l'Antiquité, en jugeant les travaux mathématiques grecs à l'aune de concepts mathématiques modernes. Des recherches menées dans la seconde moitié du ont ainsi battu en brèche le concept de ..
Moyen-Orient médiéval Le Moyen Âge voit le développement de l'algèbre au sein des mathématiques arabes, ce qui permet aux nombres irrationnels de devenir des objets de même nature algébrique que les entiers et les nombres rationnels.. Les mathématiciens du monde arabo-musulman cessent en effet, contrairement à ceux du monde grec qui les ont précédés, de ne manipuler des grandeurs géométriques que par leurs rapports.. Dans son commentaire du livre X des Éléments, le mathématicien persan Al-Mahani étudie et classifie les irrationnels quadratiques et cubiques, en les considérant comme des nombres à part entière bien qu'il utilise également un point de vue géométrique pour les désigner. Il donne en outre une approche algébrique des irrationnels, en expliquant que si l'on additionne ou multiplie un irrationnel et un rationnel (non-nul dans le cas du produit), le résultat est irrationnel.