L'additionMot d'origine latine. est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec la soustraction, la multiplication et la division. L'addition permet notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les volumes. L'addition de deux grandeurs ne peut s'effectuer que si ces grandeurs sont exprimées avec la même unité de mesure. Le résultat d'une addition est appelé une somme, et les nombres que l'on additionne, les termes.
En mathématiques, l'addition, initialement développée sur les ensembles de nombres usuels, est également définie pour d'autres objets mathématiques comme les vecteurs et les fonctions.
Par analogie, on appelle addition la loi de composition interne des espaces vectoriels et de certains groupes abéliens. D'autres structures mathématiques sont également munies d'opérations binaires appelées additions, mais qui ne satisfont pas toujours les propriétés de l'addition usuelle.
Fragments d'histoire : l'addition à l'origine des autres opérations de l'arithmétique élémentaire Utilisée dès l'apparition des premiers calculs humains, l'addition est formalisée par Euclide dans le Livre VII de son traité intitulé "Éléments", ouvrage considéré comme ayant fondé l'arithmétique occidentale. Euclide, raisonnant sur les nombres entiers, utilise l'addition notamment pour définir la multiplication (définition 16 du Livre VII) : "Un nombre est dit multiplier un nombre, lorsque le multiplié est ajouté autant de fois qu'il y a d'unités dans celui qui le multiplie, et qu'un nombre est produit".
L'addition peut donc être considérée comme à l'origine des trois autres opérations de l'arithmétique élémentaire, la soustraction (opération inverse de l'addition), la multiplication et la division (opération inverse de la multiplication). Ce lien entre l'addition et les trois autres opérations arithmétiques élémentaires se retrouve souvent de façon explicite dans les ouvrages d'enseignement de l'arithmétique de la fin du .
C'est aussi à la fin du que le mathématicien italien Giuseppe Peano énonce une théorie axiomatique de l'arithmétique qui définit de façon formelle l'ensemble des nombres entiers à partir d'une fonction de "successeur". Celle-ci permet de générer les entiers et de définir l'opération d'addition dont l'ensemble des entiers est doté. Les opérations de soustraction, de multiplication et de division sont ensuite définies de façon semblable à celle dérivée des travaux d'Euclide.
Conception Réunion de quantités
L'addition se conçoit d'abord comme le dénombrement d'une réunion de collections d'objets, à trois conditions : D'une part, ces objets ne doivent pas perdre leur individualité quand on les réunit, comme le feraient des liquidesExemple pris par Henri Lebesgue dans La Mesure des grandeurs (1931–1935), Blanchard, 1975. ou des boules de pâte à modeler. D'autre part, les éléments « en double » apparaissant dans plusieurs collections à la fois doivent être considérés comme distincts et dénombrés individuellement. Enfin, ces objets doivent être de même nature, c'est-à-dire répondre à une dénomination commune. Ainsi, pour additionner des pommes et des poires, il est nécessaire de les considérer globalement comme des fruits, afin d'exprimer le résultat en nombre de fruitsVoir notamment l'article « Addition » du Dictionnaire de mathématiques élémentaires..
Le résultat de l'addition est la quantité totale d'objets, qui peut se dénombrer soit par un comptage, soit par un calcul mathématique sur les nombres décrivant les quantités de départ.
De même, pour que l'addition puisse décrire la réunion d'objets fractionnaires, comme des portions de cercle ou des figures géométriques tracées sur un quadrillage, il faut que tous les objets soient évalués à partir d'une sous-division commune, une brique élémentaire. Mathématiquement, cette condition s'interprète comme la recherche d'un dénominateur commun à plusieurs fractions.
Certaines grandeurs physiques, mais aussi géométriques ou économiquesL'addition au restaurant détermine le prix de la réunion des commandes., peuvent également s'additionner par la réunion des objets sur lesquels elles sont mesurées. Mais ces grandeurs doivent alors être évaluées relativement à une unité de mesure commune.
Bilan de variations L'addition peut mettre en jeu des nombres négatifs en apparaissant comme le bilan des variations ou des déplacements successifs le long d'un axe orienté. Chaque terme est alors muni d'un signe indiquant son sens : positif pour un gain, une augmentation ou un déplacement dans le sens de l'axe ; négatif pour une perte, une diminution ou un déplacement dans le sens contraire à celui de l'axe. Le résultat de l'opération est alors appelé une « somme algébrique ».
Les variations peuvent là encore concerner des quantités entières ou fractionnaires, ou n'importe quelle grandeur mesurée.
Par exemple, l'addition de et traduit une perte de cinq unités et le gain de deux unités. Le résultat de l'addition, , correspond à la variation globale du nombre d'unités : trois unités ont été perdues.
Cette conception peut être étendue pour définir l'addition des vecteurs par juxtaposition de déplacements ou translations, en n'imposant plus qu'ils se fassent le long d'un même axe.
Construction formelle
La formalisation mathématique des nombres entiers naturels privilégie cependant une définition ordinale de l'addition, par récurrence. Ainsi, partant de la seule opération « ajouter un », l'addition des nombres et se conçoit sous la forme « auquel on ajoute un par deux fois » . Dans ce contexte, les propriétés de commutativité et d'associativité ne sont alors plus du tout évidentes et doivent être démontrées.
À partir de l'addition des entiers naturels, sont construites successivement les additions des entiers relatifs, des rationnels, des réels et des complexes. (Cet ordre ne reflète pas l'ordre chronologique selon lequel sont apparus ces ensembles de nombres.)
Opération numérique Notation
L'addition de deux termes et se note habituellement et se lit « plus », parfois « et » ou « ajouté à ». Le signe « + » remplace depuis la fin du le symbole p pour « plus ».
Cette notation infixe peut être remplacée dans certains contextes par une notation fonctionnelle ou par une notation postfixée . Dans la décomposition arborescente d'une expression algébrique, l'addition est représentée par un nœud trivalent avec deux entrées et une sortie.
+ Le nombre 1527 en notation égyptienne La plupart des systèmes de notation de nombres utilisent l'addition pour les constituer :
dans un système de notation additive tel que le système unaire ou la numération égyptienne, le signe « + » n'a pas besoin d'être indiqué puisque l'écriture des nombres consiste déjà à décomposer les nombres en une somme de valeurs numériques fixées. dans un système de notation positionnelle telle la notation moderne, les nombres sont constitués par des chiffres dont la position est reliée à la position voisine par un multiplicateur, appelé base du système de numération. Ainsi , par exemple en base 10, le nombre 25 vaut 2x10+5=(10+10)+5 : les signes "+" ne sont pas indiqués.
Propriétés L'addition de nombres possède certaines propriétés valables dans tous les ensembles de nombres usuelsSelon les cas, ces propriétés sont des axiomes ou démontrées à partir d'axiomes. : elle est commutative, c'est-à-dire que l'ordre dans lequel sont donnés les termes de l'addition n'a pas d'influence sur le résultat : ; elle est associative, c'est-à-dire qu'il n'y a pas besoin de préciser par des parenthèses l'ordre dans lequel est effectuée une suite d'additions : , d'où la notation sans parenthèses ; elle est simplifiable, c'est-à-dire que dans une égalité d'additions, on peut supprimer deux termes identiques de part et d'autre du signe égal : si alors ; elle admet, dans l'ensemble des nombres considéré, un élément nul ou zéro, noté 0, qui est neutre : pour tout , . Chaque élément des ensembles , , et (mais aucun élément de à part 0) possède un nombre opposé noté tel que
Procédé de calcul
L'évaluation du résultat d'une addition dépend du système de numération employé, c'est-à-dire de la manière de représenter les nombres.
Dans un système additif, il suffit de juxtaposer les écritures puis de simplifier l'expression en regroupant les symboles de même valeur pour en remplacer une partie par des symboles de valeur plus élevée lorsque c'est possible. De manière générale, les systèmes de numération non chiffrés ont pu développer une technique d'addition par la pratique de l'abaque.
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Table d'addition en écriture positionnelle décimale
Dans un système de numération positionnelle chiffrée, le calcul d'une somme d'entiers passe par l'utilisation d'une table d'addition. Celle-ci permet de trouver la somme des chiffres sur chaque position.
L'écriture du résultat se fait de la position la plus basse à la position la plus haute (de droite à gauche en notation moderneEn numération maya, où les chiffres sont alignés verticalement, la position la plus basse se trouve en bas.). Pour chaque position, on inscrit le chiffre des unités de la somme des chiffres et on reporte une retenue sur la position suivante si cette somme est plus grande que la base. Chaque chiffre du résultat est ensuite incrémenté de l'éventuelle retenue.
Pour clarifier visuellement le procédé, on peut commencer par "poser" l'addition, c'est-à-dire en notation moderne, écrire l'un en dessous de l'autre les nombres à additionner en alignant verticalement les positions correspondantes.
Cette méthode se généralise pour les nombres décimaux en alignant verticalement les virgules.
L'addition de fractions d'entiers passe par une mise au même dénominateur, puis une addition des numérateurs et enfin par une éventuelle simplification de la fraction obtenue.
Quant à l'addition des fractions égyptiennes de numérateur unitaire et de dénominateurs tous distincts, elle fait appel à un processus itératif de simplification des fractions apparaissant en double.
Les sommes d'entiers, de décimaux et de rationnels peuvent toujours se ramener à une forme où ne figure plus le signe « + ». En revanche, une somme de réels n'admet pas toujours une telle forme : on ne peut pas simplifier l'écriture de 1 + .
Itération En choisissant un terme constant , l'addition permet de définir une fonction que l'on peut itérer pour construire des suites arithmétiques de raison . De telles suites vérifient pour tout entier positif la relation . Elles s'écrivent alors sous la forme : .
Ces répétitions d'addition permettent de définir la multiplication par un nombre entier : .
L'addition d'une suite finie de nombres définie par une formule générale (par exemple, l'addition des entiers impairs de 1 à 99) utilise des procédés spécifiques qui quittent le domaine opératoire de l'addition. L'étude des suites et séries associées fournit des méthodes plus efficaces pour le calcul de telles sommes.
Culture populaire L'addition donne aussi lieu à certains jeux. La mourre, par exemple, consiste à deviner la somme de deux petits nombres, que les deux adversaires donnent simultanément avec leurs doigts.
En poésie, elle est évoquée par la Page d'écriture de Jacques Prévert.
Constructions géométriques