En mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration au sens de Lebesgue, une fonction à valeurs complexes définie sur un ouvert de est dite localement intégrable si sa restriction à tout compact de est intégrable pour la mesure de Lebesgue . L'espace vectoriel de ces fonctions est noté et son quotient par le sous-espace des fonctions nulles presque partout est noté .
Définitions équivalentes Pour toute fonction , les propriétés suivantes sont équivalentes : est localement intégrable (au sens ci-dessus) ; est Lebesgue-mesurable et pour tout compact de , ; pour toute fonction test sur (c'est-à-dire toute fonction C à support compact de dans ℂ), est Lebesgue-intégrable ; est Lebesgue-mesurable et pour toute fonction test sur ,.
Exemples Toute fonction intégrable est localement intégrable. Plus généralement, (Ω) contient pour tout .. Toute fonction mesurable localement bornée (en particulier toute fonction continue) est localement intégrable. La fonction définie (presque partout) par — qui appartient donc à (ℝ*) — n'appartient pas à (ℝ).
Propriété est un espace de Fréchet, pour sa structure d'espace localement convexe associée à la famille, indexée par les compacts de , des semi-normes définies par :.
Pour cette topologie, l'espace des fonctions complexes continues sur , à supports compacts contenus dans , est dense dans .
Référence
Articles connexes Distribution (mathématiques) Mesure absolument continue Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue
Localement, Integrable Localement integrable