thumb|Une sphère et les deux calottes sphériques découpées par un plan
En géométrie, une calotte sphérique est une portion de sphère délimitée par un plan. C'est un cas particulier de zone sphérique.
Lorsque le plan passe par le centre de la sphère, on obtient un hémisphère.
Cette surface de révolution sert de délimitant à deux types de solides : le secteur sphérique, portion de boule découpée par un cône le segment sphérique à une base, portion de boule découpée par un plan.
Dimensions thumb|Dimensions d'une calotte sphérique Il existe plusieurs dimensions permettant de caractériser une calotte sphérique : sa hauteur : le rayon de son cercle de base () : le rayon de la sphère d'origine () : l'angle au centre entre le rayon passant par le pôle de la calotte et un rayon passant par le cercle de base :
La connaissance de deux de ces dimensions permet de déterminer, à une exception près, les deux autres :
(*versin est la fonction inverse de la fonction sinus verse)
Aire L'aire d'une calotte sphérique s'exprime, en fonction de ses dimensions, par les formules suivantes : , C30-31 (même aire que sa projection orthogonale sur un cylindre tangent à l'équateur, propriété remarquée par Archimède dans son traité De la sphère et du cylindre)
On retrouve ici facilement l'aire d'un hémisphère et d'une sphère .
L'aire d'une calotte sphérique est liée à l'angle solide interceptant le cercle () par la formule :
Centre de gravité Comme dans toute surface de révolution, le centre de gravité d'une calotte sphérique est situé sur l'axe de rotation (CP). Il est de plus situé au milieu de la flècheLa flèche est le segment joignant le centre du cercle de base au sommet P de la calotte sphérique. p. 68..
Segment sphérique à une base C'est la portion de boule découpée par un plan. Son volume est donné par les formules , C29:
Comme dans tout solide de révolution, le centre de gravité du segment sphérique est situé sur l'axe de rotation (CP). Sa distance du pôle est donnée par:
Sa distance au centre est donc de :
Calcul intégral Aire thumb|Courbe engendrant, par rotation, la calotte sphérique En considérant que cette surface s'obtient en faisant tourner autour de l'axe des abscisses la portion de cercle d'équation
on peut utiliser la formule de calcul de l'aire d'une surface de révolution
On obtient alors :
On peut aussi travailler en coordonnées sphériques (rayon, colatitude , longitude ) en intégrant l'élément de surface pour une sphère :
On obtient alors:
Volume Si on considère que le segment sphérique est engendré par la rotation du triangle curviligne O(0;0) H(h,0) M(h, f(h)), on peut utiliser le calcul de volume d'un solide de révolution:
Centre de gravité Pour trouver l'abscisse du centre de gravité de la calotte sphérique engendrée par la rotation de la portion de cercle d'équation
on peut calculer le moment de la calotte par rapport au plan d'équation à l'aide de la formule:
On obtient alors :
Le centre de gravité est bien à une distance du pôle égale à :
Pour le centre de gravité du segment sphérique, on calcule le moment du segment par rapport au plan d'équation à l'aide de la formule:
On obtient alors :
Le centre de gravité du segment sphérique est alors à une distance du pôle égale à :
Références
Voir aussi
Articles connexes Sphère Zone sphérique Segment sphérique Secteur sphérique Liens externes
Catégorie:Sphère Catégorie:Volume