vignette|Cercle de rayon 5 centré à l'origine et les 81 nœuds qu'il contient. Le problème du cercle de Gauss est un problème de mathématiques à l'énoncé très simple mais engendrant diverses questions non toutes résolues. Il consiste à considérer un cercle dans un quadrillage et à se demander combien de nœuds du quadrillage sont à l'intérieur du cercle.
Le problème Considérons un cercle de de centre l'origine et de rayon . Le problème du cercle de Gauss consiste à déterminer le nombre de points situés sur ou à l'intérieur de ce cercle. L'équation de ce cercle étant donnée en coordonnées cartésiennes par , le problème revient à demander combien de paires de nombres entiers (relatifs) et vérifient :
La liste suivante donne les premières valeurs du nombre de solutions pour entier compris entre 0 et 12. Elle est suivie de la liste des valeurs de arrondies au nombre entier le plus proche notées : 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 ( ) 0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 ()
Formes exactes Par définition, où est le nombre de couples d'entiers relatifs tels que , voir à Théorème des deux carrés de Fermat#Le cas général.
Une expression de sous forme de somme finie, faisant intervenir la fonction partie entière, est :
.
Le premier terme compte le point à l'origine, le deuxième compte les points restants sur les axes. il reste quatre fois le nombre de points dans un cadran ouvert, nombre égal à .
La valeur de peut aussi être exprimée comme somme infinie. Par exemple vignette|Tracé des points (m,n) avec m^2+n^2 compris entre 29^2 (inclus) et 30^2 (exclu), formant un cercle pixelisé.
Évaluation asymptotique et conjecture On peut montrer que , ce qui prouve que et même que .
Le "problème du cercle de Gauss" consiste aujourd'hui à évaluer plus finement ; il a été démontré en 1920 que et on conjecture que pour tout (il a été démontré que est faux).
On en déduit que et que donc .
Liste des premières valeurs de pour entier : 4, 8, 16, 20, 32, 32, 36, 48, 56, 64 ()
Liste des premières valeurs de pour entier : 6, 13, 19, 25, 31, 38, 44, 50, 57, 63 ()
Problème apparenté : le problème primitif du cercle Il consiste à calculer le nombre de couples formés de nombres premiers entre eux vérifiant
Ce problème est connu comme le problème du cercle primitif, car il implique la recherche de solutions primitives au problème du cercle initialJ. Wu, On the primitive circle problem, Monatsh. Math. 135 (2002), .. Si le nombre de ces solutions est noté , alors les valeurs de V(r) pour r sont :
0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 ... ().
En liant le problème du cercle de Gauss et le fait que la "probabilité" que deux entiers soient premiers entre eux est 6/π 2, il est relativement simple de démontrer que,
Comme le problème du cercle, la partie problématique du problème du cercle primitif réduit l'exposant dans le terme d'erreur. À l'heure actuelle l'exposant le plus connu est 221/304 + ԑ si l'on suppose l'hypothèse de Riemann. Sans supposer l'hypothèse de Riemann, la plus connue est :
pour une constante positive c. En particulier, aucune hypothèse n’existe sur le terme d'erreur de la forme 1 - ε pour tout ε > 0 qui est actuellement connu et ne supposant pas l'hypothèse de Riemann.
Dénombrements apparentés : nombre de pixels dans un disque vignette|Disque pixelisé de rayon 5 renfermant carrés.On peut définir des notions apparentées en dénombrant non les nœuds du quadrillage, mais les carrés unité ; désigne le disque fermé de rayon centré en l'origine. +DéfinitionDéfinition plus préciseExpression sous forme de somme ( entier)Premiers termes pour OEISNombre de carrés inclus dans nombre de couples vérifiant 0, 4, 16, 32, 60Nombre de carrés inclus dans nombre de couples vérifiant 1, 5, 21, 37, 61
Autres généralisations Bien que le problème initial demande le nombre de points entiers du réseau situés dans un cercle, il n'y a aucune raison de ne pas envisager d'autres formes ; ainsi le problème des diviseurs de Dirichlet est le problème équivalent où le cercle est remplacé par l'hyperbole équilatèreR.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition, Springer, (2004), problème F1, .. De même, on pourrait prolonger la question de deux dimensions à des dimensions supérieures, et demander le nombre de points entiers à l'intérieur d'une sphère ou d'un quelconque autre objet.
Références et bibliographie
Voir aussi
Articles connexes
Problème du cercle minimum Problème du plus grand cercle vide Hypothèse de Riemann
Catégorie:Problème non résolu en mathématiques Catégorie:Cercle Catégorie:Arithmétique