dereita|Produto vectorial. En matemática, o produto vectorial é unha operación binaria sobre vectores nun espazo vectorial. Pode ser denominado tamén como produto externo ou produto cruz. O seu resultado difire do produto escalar por ser tamén un vector, ao contrario dun escalar. O seu principal uso baséase no feito de que o resultado dun produto vectorial é sempre perpendicular a ambos os vectores orixinais, así como que o módulo do vector resultante do produto é a área do paralelogramo que conformarían os vectores do produto.
Definición A notación do produto vectorial entre dous vectores a e b é a × b (en manuscritos, algúns matemáticos escriben a ∧ b para evitar a confusión coa x). Podemos definilo como:
onde θ é a medida do ángulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido polos dous vectores, e n é o vector unitario perpendicular a tanto a canto b.
O problema con esta definición é que existen dous vectores unitarios que son perpendiculares a a e b simultaneamente: se n é perpendicular, entón −n tamén o é.
O resultado correcto depende da orientación do espazo vectorial, i.e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k). O produto vectorial a × b é definido de tal forma que (a, b, a × b) se torna destro se (i, j, k) é "a dereitas" ou zurdo se (i, j, k) é "a esquerdas".
Unha forma fácil de calcular a dirección do vector resultante é a "regra da man dereita". Se un sistema de coordenadas é destro, basta apuntar o indicador na dirección do primeiro operando e o dedo medio na dirección do segundo operando. Desta forma, o vector resultante é dado pola dirección do polgar.
dereita|miniatura Sexan dous vectores e no espazo vectorial . O produto vectorial entre e dá como resultado un novo vector, . Para definir este novo vector é necesario especificar o seu módulo e dirección:
O módulo de está dado por
onde θ é o ángulo determinado polos vectores a e b. A dirección do vector c, que é ortogonal a a e ortogonal a b, está dada pola regra da man dereita.
Computación
Notación de coordenadas thumb|right|Base estándar vectores i, j, k e compoñentes vectoriais de a, denotados aquí ax, ay, az Se é unha base ortonormal orientada positivamente, os vectores da base cumpren as seguintes igualdades
Unha regra mnemotécnica para estas fórmulas é que se poden deducir de calquera outra delas mediante unha permutación cíclica dos vectores base. Esta mnemotécnica aplícase tamén a moitas fórmulas que se dan neste artigo.
A anticonmutatividade do produto vectorial implica que
A anticomutatividade do produto vectorial (e a evidente falta de independencia linear) tamén implica que (o vector cero).
Estas igualdades, xunto coa distributividade e a linearidade do produto vectorial (aínda que ningunha das dúas se deduce facilmente da definición anterior), son suficientes para determinar o produto vectorial de dous vectores calquera a e b. Cada vector pódese definir como a suma de tres compoñentes ortogonais paralelos aos vectores de base estándar:
O seu produto vectorial pódese expandir usando a distributividade:
Isto pódese interpretar como a descomposición de na suma de nove produtos vectoriais máis simples que involucran vectores aliñados con i, j ou k. Cada un destes nove produtos vecotriais opera en dous vectores que son fáciles de manexar xa que son paralelos ou ortogonais entre si. A partir desta descomposición, empregando as igualdades mencionada anteriormente e recompilando termos semellantes, obtemos:
o que significa que as tres compoñentes escalares do vector resultante s = s1i + s2j + s3k = son
Usando vector columnas, podemos representar o mesmo resultado do seguinte xeito:
Produto vectorial usando matrices Sexan e dous vectores concorrentes de , o espazo afín tridimensional segundo a base anterior.
Defínese o produto , e escríbese , como o vector:
No que , é o determinante de orde 2. Ou usando unha notación máis compacta, mediante o desenvolvemento pola primeira fila dun determinante simbólico de orde 3 (simbólico xa que os termos da primeira fila non son escalares):
Que dá orixe á chamada regra da man dereita ou regra do sacarrollas: xirando o primeiro vector cara ao segundo polo ángulo máis pequeno, a dirección de é o dun sacarrollas que xire na mesma dirección.
Exemplo O produto vectorial dos vectores e calcúlase do seguinte xeito:
Expandindo o determinante:
Pode verificarse facilmente que é ortogonal aos vectores e efectuando o produto escalar e verificando que este é nulo (condición de perpendicularidade de vectores).
Usando os tensores de Levi-Civita En calquera base, o produto vectorial vén dado pola fórmula tensorial onde é o tensor covariante Levi-Civita (observamos a posición dos índices). Isto corresponde á fórmula intrínseca dada aquí. Nunha base ortonormal que ten a mesma orientación que o espazo, vén dado pola fórmula pseudotensorial onde é o símbolo de Levi-Civita (que é un pseudotensor). Esa é a fórmula utilizada para a física cotiá, pero só funciona para esta elección especial de base. En calquera base ortonormal, vén dado pola fórmula pseudotensorial onde indica se a base ten a mesma orientación que o espazo ou non.
A última fórmula evita ter que mudar a orientación do espazo cando invertimos unha base ortonormal.
Como produto exterior right|thumb|O produto vectorial en relación co produto exterior. En vermello están o vector unitario ortogonal e o bivector unitario "paralelo". O produto vectorial pódese definir en termos do produto exterior. Pódese xeneralizar a un produto exterior noutras dimensións que non sexan tres. Esta xeneralización permite unha interpretación xeométrica natural do produto vectorial. En álxebra exterior o produto exterior de dous vectores é un bivector. Un bivector é un elemento plano orientado, do mesmo xeito que un vector é un elemento de liña orientado. Dados dous vectores a e b, pódese ver o bivector como o paralelogramo orientado abranguido por a e b. O produto vectorial obtense entón tomando a estrela de Hodge do bivector , mapeando 2-vectores a vectores:
Isto pódese considerar como o elemento multidimensional orientado "perpendicular" ao bivector. Nun espazo d-dimensional, a estrela de Hodge toma un k-vector a un (d–k)-vector; polo tanto, só en d = 3 dimensións o resultado é un elemento de dimensión un (3–2 = 1), é dicir, un vector. Por exemplo, en 4 dimensións, o produto vectorial de dous vectores ten a dimensión 4–2 = 2, o que dá lugar a un bivector. Polo tanto, só en tres dimensións o produto vectorial define unha estrutura alxébrica para multiplicar vectores. Notas
Véxase tamén
Outros artigos Produto escalar Álxebra linear Produto
Ligazóns externas
Unha dedución e interpretación xeométrica rápida dos produtos vectoriais Titorial Interactivo tutorial created at Syracuse University – (require Java) W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF). O produto vectorial, Mathcentre (UK), 2009
Categoría:Xeometría Categoría:Álxebra lineal Categoría:Física