En xeometría, a fórmula de Herón dá a área dun triángulo en función das tres lonxitudes dos lados Sexa o semiperímetro do triángulo, a área é
Leva o nome do enxeñeiro Herón de Alexandría do século I quen a demostrou na súa obra Metrica, aínda que probablemente se coñecía séculos antes.
Exemplo Sexa o triángulo con lados e O semiperímetro deste triángulo é , a área será logo
Expresións alternativas A fórmula de Herón tamén se pode escribir en termos só das lonxitudes, sen usar o semiperímetro,
A mesma relación pódese expresar usando o determinante de Cayley-Menger,
Probas
Proba trigonométrica mediante a lei dos cosenos En primeiro lugar mostramos unha proba moderna, bastante diferente da proporcionada por Herón. Sexan os lados do triángulo e os ángulos opostos a eses lados (figura inicial). Aplicando a lei dos cosenos obtemos
A partir deste coseno obtemos o seno,
A altura do triángulo con base mide , e segue
Proba alxébrica mediante o teorema de Pitágoras miniatura|270x270px|Triángulo coa altura que corta a base en A seguinte proba é moi semellante á dada por Raifaizen. Polo teorema de Pitágoras temos e segundo a figura de enriba. Restando temos, Esta ecuación permítenos expresar en función dos lados do triángulo:
Para a altura do triángulo temos Se substituímos coa fórmula dada anteriormente e aplicando a diferenza de cadrados obtemos
E por último:
Proba trigonométrica mediante a lei das cotanxentes dereita|miniatura|270x270px| Significado xeométrico de , e . Vexa a lei das cotanxentes para coñecer o razoamento detrás disto. Se é o raio do círculo inscrito do triángulo, entón o triángulo pódese dividir en tres triángulos de igual altitude e bases e A súa área combinada é
onde é o semiperímetro.
O triángulo pódese dividir alternativamente en seis triángulos (en pares congruentes) de altura e bases e de área combinada (ver lei das cotanxentes)
O paso medio anterior é a identidade cotanxente tripla, que aplica porque a suma dos semiángulos é
Combinando as dúas, conseguimos
Estabilidade numérica A fórmula de Herón, como se indica anteriormente, é numericamente inestable para triángulos cun ángulo moi pequeno cando se usa a aritmética de coma flotante. Unha alternativa estable consiste en organizar as lonxitudes dos lados de xeito que e calcular
Respectando os corchetes na avaliación.
Fórmulas semellantes da área do triángulo En función das medianas , e a súa semisuma, daquela Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette 87, July 2003, 324–326.
En función das alturas, , , e a semisuma dos seus recíprocos daquelaMitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
En función dos ángulos e a semisuma dos seus senos daquela
onde é o diámetro do círculo circunscrito, Esta última fórmula coincide coa fórmula estándar de Herón cando o círculo circunscrito ten un diámetro unitario.
Xeneralizacións dereita|miniatura|192x192px| Cuadrilátero cíclico A fórmula de Herón é un caso especial da fórmula de Brahmagupta para a área dun cuadrilátero cíclico. A fórmula de Herón e a fórmula de Brahmagupta son casos especiais da fórmula de Bretschneider para a área dun cuadrilátero. A fórmula de Herón pódese obter a partir da fórmula de Brahmagupta ou da fórmula de Bretschneider poñendo un dos lados do cuadrilátero a cero.
A fórmula de Brahmagupta para a área dun cuadrilátero cíclico cuxos lados teñen lonxitudes sería
onde é o semiperímetro.
Outra xeneralización da fórmula de Herón para pentágonos e hexágonos inscritos nun círculo foi descuberta por David P. Robbins. D. P. Robbins, "Areas of Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.
Fórmula tipo Herón para o volume dun tetraedro Se son lonxitudes de arestas do tetraedro (os tres primeiros forman un triángulo; oposto a e igual para o resto), daquela W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?",, pp. 16–17.
onde
Fórmulas de Herón en xeometrías non euclidianas Tamén hai fórmulas para a área dun triángulo en función da lonxitude dos seus lados para os triángulos da esfera ou do plano hiperbólico. Para un triángulo na esfera con lonxitudes de lados e , semiperímetro e área , temos
triángulo na esfera:
triángulo no plano hiperbólico:
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Shoelace formula
Ligazóns externas A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula at cut-the-knot Interactive applet and area calculator using Heron's Formula J. H. Conway discussion on Heron's Formula A Geometric Proof of Heron's Formula An alternative proof of Heron's Formula without words Factoring Heron
Categoría:Xeometría Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas