En matemáticas, o teorema de Kummer é unha fórmula para calcular o expoñente da maior potencia dun número primo p que divide un coeficiente binomial dado. Noutras palabras, dá a valoración p-ádica dun coeficiente binomial. O teorema recibe o nome de Ernst Kummer, quen o demostrou nun artigo .
Teorema O teorema de Kummer afirma que para os números enteiros dados n ≥ m ≥ 0 e un número primo p, a valoración p-ádica do coeficiente binomial é igual ao número de carrexos cando se suma a en base p.
Unha forma equivalente do teorema é a seguinte:
Escribamos a expansión en base do número enteiro como , e definamos como a suma dos díxitos en base , entón
O teorema pódese demostrar escribindo como e usando a fórmula de Legendre.
Exemplos Para calcular a maior potencia de 2 que divide o coeficiente binomial escribimos e na base como e . Realizamos a suma na base 2 require tres carretos: {| cellpadding=5 style="border:none" | || 1 || 1 || 1 || || || |- | || || || 1 || 1 2
| + || || 1 || 1 || 1 2 |- | style='border-top: 1px solid' | | style='border-top: 1px solid' | 1 | style='border-top: 1px solid' | 0 | style='border-top: 1px solid' | 1 | style='border-top: 1px solid' | 0 2 |} Polo tanto a maior potencia de 2 que divide é 3.
Alternativamente, pódese usar a forma que inclúe sumas de díxitos. As sumas dos díxitos de 3, 7 e 10 na base 2 son , , e respectivamente, daquela
Xeneralización para coeficientes multinomiais O teorema de Kummer pódese xeneralizar a coeficientes multinomiais como segue:
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Teorema de Lucas
Categoría:Teoría de números Kummer Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas