En matemáticas, o conxunto de partes (ou conxunto potencia) dun conxunto é o conxunto de todos os subconxuntos de , incluíndo o conxunto baleiro e o propio . Na teoría de conxuntos axiomáticos (como se desenvolve, por exemplo, nos axiomas ZFC), a existencia do conxunto de partes de calquera conxunto é postulada polo axioma do conxunto de partes. O conxunto de partes de denótase de varias maneiras como , , , , , ou . Calquera subconxunto de chámase familia de conxuntos sobre .
Exemplo thumb|Diagrama de Hasse das inclusións entre os subconxuntos de S. Se é o conxunto , entón todos os subconxuntos de son
(tamén escrito como ou , o conxunto baleiro)
e, polo tanto, o conxunto de partes de é .
Propiedades Cardinalidade Se é un conxunto finito coa cardinalidade (é dicir, o número de todos os elementos do conxunto é ), entón o número de todos os subconxuntos de é . Este feito demóstrase a continuación.
Unha función indicadora dun subconxunto dun conxunto coa cardinalidade é unha función de no conxunto de dous elementos denotada como , e indica se un elemento de pertence ou non a . Se en pertence a , daquela , e no caso contrario. Cada subconxunto de identifícase ou é equivalente á función indicadora , e a pois o conxunto de todas as funcións de a consta de todas as funcións indicadoras de todos os subconxuntos de . Noutras palabras, é equivalente ou bixectivo ao conxunto de partes . Dado que cada elemento en corresponde a ou baixo calquera función en , o número de todas as funcións en é . Dado que o número pódese definir como (ver, por exemplo, os ordinais de von Neumann), o tamén se denota como . Obviamente temos . En xeral, é o conxunto de todas as funcións de en e .
O argumento da diagonal de Cantor mostra que o conxunto de partes dun conxunto (sexa infinito ou non) sempre ten unha cardinalidade estritamente maior que o conxunto en si (ou informalmente, o conxunto de partes debe ser maior que o conxunto orixinal). En particular, o teorema de Cantor mostra que o conxunto de partes dun conxunto numerable infinito é incontablemente infinito. O conxunto de partes do conxunto de números naturais pódese poñer nunha correspondencia un a un co conxunto de números reais (ver Cardinalidade do continuo).
Teoría de Conxuntos Na teoría de Conxuntos, en particular na sáa formulación segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe un axioma cuxa finalidade é garantir a existencia do conxunto de partes: o axioma do conxunto de partes.
Álxebra O conxunto de partes dun conxunto S, xunto coas operacións de unión, intersección e complemento, é unha sigma-álxebra sobre S e pódese ver como o exemplo prototípico dunha álxebra de Boole. De feito, pódese demostrar que calquera álxebra booleana finita é isomórfica á álxebra booleana do conxunto de partes dun conxunto finito. Para as álxebras booleanas infinitas, isto xa non é certo, pero toda álxebra booleana infinita pódese representar como unha subálxebra dunha álxebra booleana de conxuntos de partes (ver o teorema de representación de Stone).
O conxunto de partes dun conxunto S forma un grupo abeliano cando se considera coa operación de diferenza simétrica (co conxunto baleiro como elemento de identidade e cada conxunto sendo o seu propio inverso), e forma un monoide conmutativo cando se considera coa operación de intersección. Polo tanto, pódese demostrar, comprobando as leis distributivas, que o conxunto de partes xunto con estas dúas operacións forma un anel booleano.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Ligazóns externas
Categoría:Teoría de conxuntos