En álxebra linear, a traza dunha matriz cadrada , denotada como , defínese como a suma de elementos da diagonal principal (desde a parte superior esquerda ata a inferior dereita) de . A traza só se define para unha matriz cadrada ().
A traza está relacionada coa derivada do determinante (ver fórmula de Jacobi).
Definición A traza dunha matriz cadrada , , defínese como </ref> onde denota a entrada na fila e na columna de . As entradas de poden ser números reais, números complexos ou máis xeralmente elementos dun corpo . A traza non está definida para matrices non cadradas.
Exemplo Sexa unha matriz, con
Logo
Propiedades
Propiedades básicas A traza é un aplicación linear. É dicir, para todas as matrices cadradas e , e todos os escalares .
Unha matriz e a súa transposta teñen a mesma traza:
Traza dun produto A traza dunha matriz cadrada que é o produto de dúas matrices pódese reescribir como a suma dos produtos de entrada dos seus elementos, é dicir, como a suma de todos os elementos do seu produto de Hadamard. Dito directamente, se e son dúas matrices , daquela:
Propiedade cíclica
De forma máis xeral, a traza é invariante baixo desprazamentos circulares, é dicir,Isto coñécese como a propiedade cíclica.
Non se permiten permutacións arbitrarias: en xeral,
Traza dun produto Kronecker
A traza do produto de Kronecker de dúas matrices é o produto das súas trazas:
Traza como suma de valores propios Dado calquera matriz , , temosonde son os eigenvalores de contados con multiplicidade. Isto é certo aínda que sexa unha matriz real e algúns (ou todos) os valores propios sexan números complexos. Isto pódese considerar como unha consecuencia da existencia da forma canónica de Jordan, xunto coa semellanza-invarianza da traza.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Matriz (matemáticas).
Ligazóns externas
Categoría:Álxebra lineal