dereita|miniatura|400x400px| Distribución de frecuencia de intervalos entre primos para números primos de ata 1.600 millóns. Os picos ocorren en múltiplos de 6.
Un intervalo entre primos é a diferenza entre dous números primos sucesivos. O intervalo entre o primo n-ésimo, denotado gn ou g(pn) é a diferenza entre o primo (n + 1) e o primo n-ésimo , é dicir
Temos g1 = 1, g2 = g3 = 2 e g4 = 4. A secuencia (gn) de intervalos primos foi moi estudada; con todo, moitas preguntas e conxecturas fican aínda sen resposta.
Os primeiros 60 intervalos primos son:
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2,... .
Observacións sinxelas Para calquera número enteiro n, o factorial n! é o produto de todos os enteiros positivos ata n incluído. Logo na secuencia
o primeiro termo é divisible por 2, o segundo termo é divisible por 3, etc. Así, esta é unha secuencia de enteiros compostos consecutivos, e debe pertencer a un espazo entre números primos que teñan polo menos n de lonxitude. Dedúcese logo que hai intervalos entre primos que son arbitrariamente grandes, é dicir, para calquera número enteiro N, hai un enteiro m con .
O primeiro intervalo primo de tamaño maior que 14 ocorre entre os primos 523 e 541, mentres que 15! é un número moito maior 1307674368000.
O intervalo medio entre os primos aumenta a medida que o logaritmo natural destes primos e, polo tanto, a proporción entre os primos e os primos implicados diminúe (e é asintóticamente cero). Esta é unha consecuencia do teorema dos números primos. De feito, a relación entre o intervalo e o número de díxitos dos enteiros implicados aumenta sen límite. Esta é a consecuencia dun resultado de Westzynthius..
Na dirección oposta, a conxectura dos primos xemelgos postula que para un número infinito de números enteiros n.
Para algún número primo P, escribimos P# para representar P primorial, ou sexa, o produto de todos os números primos menores ou iguais a P. Se Q é o número primo seguinte a P, entón a secuencia
é unha secuencia de Q − 2 números enteiros compostos, onde temos un intervalo entre primos de tamaño mínimo Q − 1. Por tanto, existen intervalos entre primos de tamaño arbitrariamente longos. Outra forma de ver que hai intervalos arbitrariamente grandes de primos é o feito de que a densidade de números primos aproxímase a cero, de acordo co Teorema do número primo.
Na verdade, os intervalos entre primos de P números poden ocorrer con números moito menores que P#. Por exemplo, a menor secuencia de 71 números enteiros compostos consecutivos ocorre entre 31398 e 31468, en cnto 71# ten vinte e sete dígitos, seu valor total é 557940830126698960967415390.
Resultados numéricos
O maior intervalo entre dous primos coñecidos ata 2016 con primos probábeis identificados ten tamaño 4680156, con números primos de 99750 díxitos atopado por Martin Raab. O maior intervalo entre dous primos con primos xa probados ten tamaño 1113106, con números primos de 18662 díxitos atopados por P. Cami, M. Jansen e J. K. Andersen.Intervalo de tamaño 1113106
Dicimos que gn é un intervalo maximal, se gm < gn m < n. O maior intervalo maximal coñecido ata agosto de 2016 ten tamaño 1476, atopado por Tomás Oliveira e Silva. É o septuaxésimo-sétimo intervalo maximal, e ocorre despois do número primo 1425172824437699411.Intervalos maximais Outros récords de intervalos maximais poden ser vistos en .
No 1931, Westzynthius probou que os intervalos entre primos medran de forma maior do que a escala logarítmica. Ou sexa,.
Normalmente, a razón gn / ln(pn) chámase mérito dun intervalo entre primos gn.
+ Maiores valores de "mérito" coñecidos (ata novembro de 2016)NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERITDynamic prime gap statistics Mérito gn cifras pn Data Descubridor 36,858288 10716 127 2016 Dana Jacobsen 36,590183 13692 163 2016 Dana Jacobsen 36,420568 26892 321 2016 Dana Jacobsen 35,424459 66520 816 2012 Michiel Jansen 35,310308 1476 19 1425172824437699411 2009 Tomás Oliveira e Silva
Ata novembro de 2016, o maior valor de "mérito" coñecido foi descoberto por Dana Jacobsen, sendo
onde 283# indica o primorial de 283.
A razón de Cramér–Shanks–Granville está dada por
O maior valor coñecido desa proporción é 0,9206386 para o primo 1693182318746371. Outros termos récords están en .
+ Os 75 primeiros intervalos maximais (n non está listado)+ Números de 1 a 25 # gn pn 1 1 2 2 2 3 3 4 7 4 6 23 5 8 89 6 14 113 7 18 523 8 20 887 9 22 1 12910 34 1 32711 36 9 55112 44 15 68313 52 19 60914 72 31 39715 86 155 92116 96 360 65317 112 370 26118 114 492 11319 118 1 349 53320 132 1 357 20121 148 2 010 73322 154 4 652 35323 180 17 051 70724 210 20 831 32325 220 47 326 693+ Números de 26 a 50 # gn pn26 222 122 164 74727 234 189 695 65928 248 191 912 78329 250 387 096 13330 282 436 273 00931 288 1 294 268 49132 292 1 453 168 14133 320 2 300 942 54934 336 3 842 610 77335 354 4 302 407 35936 382 10 726 904 65937 384 20 678 048 29738 394 22 367 084 95939 456 25 056 082 08740 464 42 652 618 34341 468 127 976 334 67142 474 182 226 896 23943 486 241 160 624 14344 490 297 501 075 79945 500 303 371 455 24146 514 304 599 508 53747 516 416 608 695 82148 532 461 690 510 01149 534 614 487 453 52350 540 738 832 927 927+ Números de 51 a 75 # gn pn51 582 1 346 294 310 74952 588 1 408 695 493 60953 602 1 968 188 556 46154 652 2 614 941 710 59955 674 7 177 162 611 71356 716 13 829 048 559 70157 766 19 581 334 192 42358 778 42 842 283 925 35159 804 90 874 329 411 49360 806 171 231 342 420 52161 906 218 209 405 436 54362 916 1 189 459 969 825 48363 924 1 686 994 940 955 803641 132 1 693 182 318 746 371651 184 43 841 547 845 541 059661 198 55 350 776 431 903 243671 220 80 873 624,627,234,849681 224 203 986 478 517 455 989691 248 218 034 721 194 214 273701 272 305 405 826 521 087 869711 328 352 521 223 451 364 323721 356 401 429 925 999 153 707731 370 418 032 645 936 712 127741 442 804 212 830 686 677 669751 476 1 425 172 824 437 699 411
Resultados posteriores
Límite superior O postulado de Bertrand, probado no 1852, afirma que sempre existe un número primo entre k e 2k, en particular pn+1<2pn, o que significa que gn < pn.
O teorema do número primo, probado no 1896, dice que as distanzas totais entre dous intervalos entre o primo p e o próximo primo é ln(p). O tamaño real do intervalo pode ser moito maior ou menor. A pesar diso, o teorema do número primo deduce un límite superior para o tamaño dos intervalos entre primos: Para todo ε > 0, existe un número N tal que
gn < εpn n > N.
Pódese deducir que os intervalos arbitrariamente pequenos teñen proporcións cos números primos a partir do límite do cociente:
Hoheisel no 1930 foi o primeiro en mostrar que existe unha constante θ < 1 tal que
mostrando así que
para n suficientemente grande.
Hoheisel obtivo un posíbel valor para θ. O valor da constante foi posteriormente mellorado para Heilbronn, e para θ = 3/4 + ε, para algún ε > 0, por Chudakov.
O mellor resultado é debido a Ingham, que mostrou que
para algunha constante positiva c, onde O''' reférese à notación O grande, e
para algún . ζ denota a función zeta de Riemann e π a función contaxe de números primos. Sabendo que para algún é admisíbel, obtense que θ é un número maior que .
Unha consecuencia inmediata do resultado de Ingham é que sempre hai un número primo entre n3 e (n + 1)3, se n é o suficientemente grande. A hipótese de Lindelöf pode implicar que a fórmula de Ingham funciona para calquera constante positiva c: mais mesmo isto non é suficiente para implicar que hai un número primo entre n2 e (n + 1)2 para n suficientemente grande ( ver Conxectura de Legendre). Para verificar isto, é necesario un resultado máis forte como a conxectura de Cramér.
Huxley en 1972 demostrou que se pode escoller θ = \frac{7}{12} = 0,58(3).
Un resultado, debido a Baker, Harman e Pintz en 2001, mostrou que θ pode considerarse 0,525.
En 2005, Daniel Goldston, János Pintz e Cem Yıldırım demostraron que
e dous anos máis tarde demostraron que
En 2013, Yitang Zhang demostrou iso
o que significa que hai infinitos interalos entre dous números primos consecutivos que non superan os 70 millóns. O proxecto Polymath Project realiza un esforzo de colaboración para optimizar o límite de Zhang. En novembro de 2013, James Maynard creou un novo perfeccionamento, permitindo reducir o límite a 600 e mostra que para algúns m hai un rango máximo de m primos. Usando as ideas de Maynard, o proxecto Polymath mellorou o límite a 46; asumindo a conxectura de Elliott–Halberstam, N pódese reducir a 12 e 6, respectivamente.
Límites inferiores En 1938, Robert Rankin demostrou a existencia dunha constante c > 0 tal que a desigualdade
funciona para valores infinitos de n, mellorando os resultados de Westzynthius e Paul Erdős. Máis tarde demostrou que esta constante pode ser c < eγ, onde γ é a constante de Euler–Mascheroni. O valor da constante c foi mellorado en 1997 a un valor inferior a 2eγ.
Paul Erdős ofreceu un premio de 10.000 dólares por unha proba ou refutación de que a constante c na desigualdade anterior pode considerarse arbitrariamente grande. Foi demostrado correcto en 2014 por Ford–Green–Konyagin–Tao e independentemente por James Maynard.
Máis tarde mellorouse o resultado
para valores infinitos de n de Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao.
Pódense determinar entón límites inferiores para cadeas de primos.
Conxecturas sobre o intervalo entre números primos thumb|350px|A función de espazo principal.
Aínda mellores resultados están condicionados á hipótese de Riemann. Harald Cramér demostrou que a hipótese de Riemann implica que gn satisfai gaps
Máis tarde conxeturou que estes valores son sempre menores. Noutras palabras, a conxectura de Cramér usa a seguinte afirmación:
A conxectura de Firoozbakht afirma que (onde é o n-ésimo número primo) é unha función estritamente decrecente de n, é dicir,
Se esta conxectura é certa, a función satisfai .
Isto implica a forma forte da conxectura de Crámer, pero é inconsistente coa heurística de Granville e Pintz.. que suxire que vale para onde denota a constante de Euler-Mascheroni.
Mentres tanto, a conxectura de Oppermann é máis feble que a conxectura de Cramér. O tamaño esperado dun intervalo entre dous primos consecutivos coa conxectura de Oppermann é da orde de
Como resultado, isto significa (asumindo que a conxectura de Oppermann é verdadeira) m > 0 (probablemente m = 30) para cada número natural n > m satisfai
A conxectura de Andrica, que é máis feble que a de Oppermann, afirma queGuy (2004) §A8
Como función aritmética O tamaño do intervalo gn entre os números primos n-ésimo e (n + 1)-ésimo é un exemplo de función aritmética. Neste contexto, adoita denotarse por d''n e chámase función de diferenza entre números primos. Esta función non é aditiva nin multiplicativa.
Programa en Python
Varios tipos de programas poden ser feitos para calcular o valor de , sendo un importante recurso para a matemática computacional. Abaixo, tense unha versión para Python, que calcula para os números primos entre 1 e 10000 (ata ao número primo 9973):
def prime(num): for divisor in range(2, num): if num % divisor == 0: return False return True
list_prime = [] for i in range(1,10000): if prime(i): list_prime.append(i)
for n in range(2, len(list_prime)): print(f'g({n-1}) = {list_prime[n] - list_prime[n-1]}')
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Desigualdade de Bonse Primo xemelgo Ligazóns externas Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory . Inclúe unha lista de tódolos intervalos coñecidos.
Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture. Chris Caldwell, Gaps Between Primes; unha introdución elemental Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length; inclúe o traballo de James Maynard de novembro do 2013.