dereita|miniatura|250x250px| A función zeta de Riemann trazada con cor de dominio. dereita|miniatura|462x462px| O polo en e dous ceros na liña crítica.
A función zeta de Riemann, denotada pola letra grega (zeta ), é unha función matemática dunha variábel complexa definida como para e a súa continuación analítica para unha variábel complexa.
A función zeta de Riemann xoga un papel fundamental na teoría analítica de números, e ten aplicacións en física, teoría da probabilidade e estatística aplicada.
Leonhard Euler introduciu e estudou por primeira vez a función sobre os reais na primeira metade do século XVIII. O artigo de Bernhard Riemann de 1859 "Sobre o número de primos menores que unha magnitude dada" estendeu a definición de Euler a unha variable complexa, demostrou a súa continuación meromorfa e a súa ecuación funcional e estabeleceu unha relación entre os seus ceros e a distribución dos números primos. Ese artigo tamén contiña a hipótese de Riemann, unha conxectura sobre a distribución dos ceros complexos da función zeta de Riemann que moitos matemáticos consideran o problema sen resolver máis importante da matemática pura.
Euler calculou os valores da función zeta de Riemann para enteiros positivos pares. O primeiro deles, , proporciona unha solución ao problema de Basilea. En 1979 Roger Apéry demostrou a irracionalidade de . Os valores en puntos enteiros negativos, tamén atopados por Euler, son números racionais e xogan un papel importante na teoría das formas modulares. Coñécense varias xeneralizacións da función zeta de Riemann, como as series de Dirichlet, as L-funcións e as L-funcións de Dirichlet.
Definición A función zeta de Riemann é unha función dunha variábel complexa , onde e son números reais. (A notación , e utilízase tradicionalmente no estudo da función zeta, seguindo a Riemann.) Cando , a función pódese escribir como unha suma converxente ou como unha integral:
onde
é a función gamma. A función zeta de Riemann defínese para outros valores complexos mediante a continuación analítica da función definida para .
A serie anterior é unha serie de Dirichlet prototípica que converxe absolutamente nunha función analítica para tal que e diverxe para todos os demais valores de . Riemann demostrou que a función definida pola serie no semiplano de converxencia pode continuarse analíticamente ata todos os valores complexos . Para , a serie correspóndese coa serie harmónica que diverxe cara a e
Así, a función zeta de Riemann é unha función meromorfa en todo o plano complexo, que é holomorfa en todas as partes agás nun polo simple en con residuo .
Fórmula do produto de Euler En 1737, a conexión entre a función zeta e os números primos foi descuberta por Euler, quen probou a identidade
onde o produto infinito do lado dereito esténdese sobre todos os números primos (esas expresións chámanse produtos de Euler):
A fórmula do produto de Euler pódese usar para calcular a probabilidade asintótica de que enteiros seleccionados aleatoriamente sexan coprimos.
Esta probabilidade asintótica de que enteiros sexan coprimos está dada por
Ecuación funcional de Riemann Esta función zeta satisfai a ecuación funcional onde é a función gamma. Esta é unha igualdade de funcións meromorfas válida en todo o plano complexo. A ecuación relaciona os valores da función zeta de Riemann nos puntos e , en particular relacionando enteiros pares positivos con enteiros negativos impares. Debido aos ceros da función seno, a ecuación funcional implica que ten un cero simple en cada número enteiro par negativo , coñecidos como ceros triviais de .
Cando é un enteiro positivo par, o produto no lado dereito é distinto de cero porque ten un polo, que cancela o cero simple do factor seno.
Os ceros, a liña crítica e a hipótese de Riemann
thumb|360px|Espiral zeta de Riemann ao longo da liña crítica desde a altura 999000 ata un millón (de vermello a violeta) dereita|miniatura|300x300px| A función zeta de Riemann non ten ceros á dereita de ou (ademais dos ceros triviais) á esquerda de (tampouco os ceros poden estar demasiado preto desas liñas). A maiores, os ceros non triviais son simétricos sobre o eixo real e a recta dereita|miniatura|300x300px| Esta imaxe mostra unha gráfica da función zeta de Riemann ao longo da liña crítica para os valores reais de que van de 0 a 34. Os primeiros cinco ceros da franxa crítica son claramente visíbeis como o lugar onde pasan as espirais pola orixe. miniatura|300x300px| A parte real (vermello) e a parte imaxinaria (azul) da función zeta de Riemann ao longo da recta crítica Re( s ) = 1/2. Os primeiros ceros non triviais pódense ver en Im( s ) = ±14,135, ±21,022 e ±25,011. miniatura| Animación que mostra a función zeta de Riemann ao longo da liña crítica. Zeta(1/2 + I y) para y que varía de 1000 a 1005.
A ecuación funcional mostra que a función zeta de Riemann ten ceros en . Estes chámanse ceros triviais. Son triviais no sentido de que a súa existencia é fáciliña de demostrar, por exemplo, porque é 0 na ecuación funcional. Os ceros non triviais captaron moita máis atención porque a súa distribución non só se entende moito menos senón que, o que é máis importante, o seu estudo provoca resultados importantes en relación cos números primos e outros elementos relacionados na teoría de números. Sábese que calquera cero non trivial está na franxa aberta , que se chama a franxa crítica. O conxunto chámase liña crítica. A hipótese de Riemann, considerada un dos maiores problemas sen resolver en matemáticas, afirma que todos os ceros non triviais están na liña crítica. En 1989, Conrey demostrou que máis do 40% dos ceros non triviais da función zeta de Riemann están na liña crítica.
Para a función zeta de Riemann na liña crítica, consulte -función.
+ Primeiros ceros non triviais Cero 1/2 ± 14,134725 i 1/2 ± 21,022040 i 1/2 ± 25,010858 i 1/2 ± 30,424876 i 1/2 ± 32,935062 i 1/2 ± 37,586178 i 1/2 ± 40,918719 i
Número de ceros na franxa crítica Sexa o número de ceros de na franxa crítica , cuxas partes imaxinarias están no intervalo . Trudgian demostrou que, se , entón
.
As conxecturas de Hardy-Littlewood En 1914, G. H. Hardy demostrou que ten infinitos ceros reais.
Hardy e J. E. Littlewood formulou dúas conxecturas sobre a densidade e a distancia entre os ceros de en intervalos de grandes números reais positivos. A continuación, é o número total de ceros reais e o número total de ceros de orde impar da función situada no intervalo .
Para calquera , existe un tal que cando
o intervalo contén un cero de orde impar. Para calquera , existe un e tal que a desigualdade cúmprese cando
Estas dúas conxecturas abriron novas direccións na investigación da función zeta de Riemann.
Rexión sen ceros A localización dos ceros da función zeta de Riemann é de grande importancia na teoría de números. O teorema dos números primos é equivalente ao feito de que non hai ceros da función zeta na liña . Un mellor resultado , que se desprende dunha forma efectiva do teorema do valor medio de Vinogradov, é que sempre que e .
En 2015, Mossinghoff e Trudgian demostraron que zeta non ten ceros na rexión
para .
Esta é a maior rexión libre de ceros coñecida na franxa crítica para .
O resultado máis forte deste tipo que se pode esperar é a verdade da hipótese de Riemann, que tería moitas consecuencias profundas na teoría dos números.
Valores específicos
Para calquera enteiro par positivo ,
onde é o -ésimo número de Bernoulli.
Para os números enteiros positivos impares, non se coñece ningunha expresión simple, consulte Valores especiais das L-funcións.
O cálculo de coñécese como o problema de Basilea. O valor de está relacionado coa Lei de Stefan–Boltzmann e a aproximación de Viena en física. Os primeiros valores son:
Tomando o límte cando , obtemos . Mais no infinito complexo da esfera de Riemann a función zeta ten unha singularidade esencial.
+ Valores seleccionados para enteiros pares Valor Expansión decimal Secuencia OEIS ... ... ... ... ... ...
Para os enteiros non positivos, temos para (usando a convención de que ).
A constante de Apéry é o valor .
Series diverxentes A través da continuación analítica, pódese demostrar
Isto dá un pretexto para asignar un valor finito á serie diverxente 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, que se utilizou en certos contextos (Sumatorio de Ramanujan) como na teoría de cordas. De xeito análogo, o valor particular
pódese ver como a asignación dun resultado finito á serie diverxente 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ .
O valor
emprégase no cálculo de problemas de capa límite cinética de ecuacións cinéticas lineares. Aínda que
diverxe, o seu principal valor de Cauchy
existe, sendo igual á constante de Euler-Mascheroni .
Representacións
Serie de Dirichlet Pódese obter unha extensión da área de converxencia reordenando a serie orixinal. A serie
converxe para , mentres que
converxe mesmo para . Deste xeito, a área de converxencia pódese estender a para calquera número enteiro negativo .
A recorrencia é claramente visíbel coa expresión válida para o que permite unha maior expansión mediante a integración por partes.
Integrais tipo Mellin A transformada de Mellin dunha función defínese como translated and reprinted in
na rexión onde a integral está definida. Hai varias expresións para a función zeta como integrais tipo transformada de Mellin. Se a parte real de é maior que un, temos
e ,
onde denota a función gamma. Ao modificar o contorno, Riemann mostrou que
para todo (onde denota o contorno de Hankel).
Tamén podemos atopar expresións relacionadas con números primos e co teorema dos números primos. Se é a función de contaxe de números primos, entón
para valores con .
Funcións theta A función zeta de Riemann pódese dar mediante unha transformada de Mellin
en termos da función theta de Jacobi
No entanto, esta integral só converxe se a parte real de é maior que 1, mais pódese regularizar. Isto dá a seguinte expresión para a función zeta, que está ben definida para todos os agás 0 e 1:
Serie de Laurent A función zeta de Riemann é meromorfa cun só polo de orde un en . Polo tanto, pódese expandir como unha serie de Laurent en ; o desenvolvemento da serie é logo
As constantes aquí chámanse constantes de Stieltjes e pódense definir polo límite
O termo constante é a constante de Euler-Mascheroni.
Factorial ascendente Outro desenvolvemento en serie usando o factorial ascendente válido para todo o plano complexo é
Transformada de Mellin do mapa de Engel A función itérase para atopar os coeficientes que aparecen nas expansións de Engel.
A transformada de Mellin do mapa está relacionada coa función zeta de Riemann pola fórmula
Algoritmos numéricos Un algoritmo clásico, en uso antes de aproximadamente 1930, procede aplicando a fórmula de Euler-Maclaurin para obter, para n e m enteiros positivos,
onde denota o número de Bernoulli correspondente,
e o erro cumpre
con σ = Re(s).. Un algoritmo numérico moderno é o algoritmo de Odlyzko-Schönhage.
Xeneralizacións Hai unha serie de funcións zeta relacionadas que poden considerarse xeneralizacións da función zeta de Riemann. Estas inclúen:
A función zeta de Hurwitz
.
O polilogaritmo
.
O trascendente de Lerch
.
Notas
Véxase tamén
Ligazóns externas
Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld — an explanation with a more mathematical approach Prime Numbers Get Hitched A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers. X-Ray of the Zeta Function Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary. Formulas and identities for the Riemann Zeta function functions.wolfram.com Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers, section 23.2 of Abramowitz and Stegun
Mellin transform and the functional equation of the Riemann Zeta function—Computational examples of Mellin transform methods involving the Riemann Zeta Function