En matemáticas, particularmente na teoría de -análogos, a función theta de Ramanujan xeneraliza a forma das funcións theta de Jacobi, ao tempo que captura as súas propiedades xerais.
En particular, o produto triplo Jacobi adquire unha forma particularmente elegante cando se escribe en termos do theta Ramanujan. A función leva o nome do matemático Srinivasa Ramanujan.
Definición A función theta de Ramanujan defínese como
para . A identidade do produto triplo de Jacobi toma logo a forma
Aquí, a expresión denota o q-símbolo de Pochhammer. As identidades que se derivan deste inclúen
e
e
Esta última é a función de Euler, que está moi relacionada coa función eta de Dedekind. A función theta de Jacobi pódese escribir en termos da función theta de Ramanujan como:
Representacións con integrais Temos a seguinte representación con integral para a forma completa de dous parámetros da función theta de Ramanujan:
Os casos especiais das funcións theta de Ramanujan dados por e tamén teñen as seguintes representacións con integrais:
Isto leva a varias integrais de casos especiais para constantes definidas por estas funcións cando . En particular, temos que
e que
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Función theta Q-serie Q-símbolo de Pochhammer Ligazóns externas
Categoría:Funcións