dereita|miniatura|250x250px| A multiplicación escalar dun vector por un factor de 3 estira o vector. dereita|miniatura|250x250px| As multiplicacións escalares − a e 2a dun vector a En matemáticas, a multiplicación por un escalar é unha das operacións básicas que definen un espazo vectorial en álxebra linealr (ou máis xeralmente, un módulo en álxebra abstracta).
En contextos xeométricos comúns, a multiplicación escalar dun vector euclidiano real por un número real positivo multiplica a magnitude do vector sen mudar a súa dirección.
A multiplicación escalar é a multiplicación dun vector por un escalar (onde o produto é un vector), e debe distinguirse do produto escalar ou produto interno de dous vectores (onde o produto é un escalar).
Definición En xeral, se K é un corpo e V é un espazo vectorial sobre K, entón a multiplicación escalar é unha función de K × V en V. O resultado de aplicar esta función a k en K e v en V denotase k v.
Propiedades A multiplicación escalar obedece ás seguintes regras (vector en grosa):
Aditividade no escalar: (c + d)v = cv + dv; Aditividade no vector: c(v + w) = cv + cw; Compatibilidade do produto de escalares coa multiplicación escalar: (cd) v = c(dv); Multiplicando por 1 non muda un vector: 1 v = v; Multiplicando por 0 dáse o vector cero: 0v = 0; Multiplicando por −1 dáse a inversa aditiva: (−1) v = − v.
Multiplicación escalar de matrices A multiplicación escalar pola esquerda dunha matriz cun escalar dá outra matriz do mesmo tamaño que . Desígnase por , cuxas entradas de están definidas por
explicitamente:
Do mesmo xeito, aínda que non hai unha definición amplamente aceptada, a multiplicación escalar pola dereita dunha matriz cun escalar podería definirse como
Cando as entradas da matriz e dos escalares son do mesmo corpo conmutativo, por exemplo, o corpo numérico real ou o corpo numérico complexo, estas dúas multiplicacións son iguais e pódense denominar simplemente multiplicación escalar. Para matrices sobre un corpo máis xeral que non é conmutativo, poden non ser iguais.
Para un escalar e unha matriz real:
Para matrices e escalares de cuaternións:
onde son as unidades de cuaternións. A non conmutatividade da multiplicación de cuaternións impide mudar a .
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Produto escalar Produto interno Espazo preholbertiano
Ligazóns externas
Categoría:Aritmética Categoría:Matrices