alt=|miniatura|261x261px| A integral dunha función positiva pódese interpretar como a área embaixo dunha curva.
En matemáticas, a integral dunha función non negativa dunha única variábel pódese considerar, no caso máis sinxelo, como a área comprendida entre a gráfica desa función e o eixo .
A integral de Lebesgue, que recibe o nome do matemático francés Henri Lebesgue, é unha forma de facer este concepto rigoroso e estendelo a funcións máis xerais.
A integral de Lebesgue é máis xeral que a integral de Riemann, á que substituíu en gran medida na análise matemática desde a primeira metade do século XX. Pode acomodar funcións con descontinuidades que aparecen en moitas aplicacións que son patolóxicas na perspectiva da integral de Riemann.
A integral de Lebesgue tamén ten en xeral mellores propiedades analíticas. Por exemplo, en condicións suaves, é posíbel trocar límites na integración de Lebesgue, mentres que as condicións para facelo cunha integral de Riemann son comparativamente barrocas. A maiores, a integral de Lebesgue pódese xeneralizar dun xeito simple a espazos máis xerais, espazos de medida, como os que xorden na teoría da probabilidade.
O termo integración de Lebesgue pode significar tanto a teoría xeral da integración dunha función en relación a unha medida xeral, como introduciu Lebesgue, ou o caso específico de integración dunha función definida nun subdominio da liña real en relación á medida de Lebesgue.
Introdución A integral dunha función real positiva entre os límites e pódese interpretar como a área baixo a gráfica de , entre e . Esta noción de área encaixa en algunhas funcións, principalmente funcións continuas por tramos, incluíndo funcións elementais, por exemplo os polinomios. No entanto, as gráficas doutras funcións, por exemplo a función de Dirichlet, non encaixan ben coa noción de área. Gráficos como o desta última, suscitan a pregunta: para que clase de funcións ten sentido a "área embaixo da curva"? A resposta a esta pregunta ten unha grande importancia teórica.
Como parte dun movemento xeral cara ao rigor nas matemáticas no século XIX, os matemáticos intentaron poñer o cálculo integral sobre unha base firme. A integral de Riemann, proposta por Bernhard Riemann (1826–1866), é un intento amplamente exitoso de proporcionar tal fundamento. A definición de Riemann comeza coa construción dunha secuencia de áreas facilmente calculábeis que converxen na integral dunha función dada. Esta definición ten éxito no sentido de que dá a resposta esperada para moitos problemas xa resolvidos, e dá resultados útiles para moitos outros problemas.
Porén, a integración de Riemann non interactúa ben coa toma de límites de secuencias de funcións, o que dificulta a análise destes procesos de límite. Isto é importante, por exemplo, no estudo das series de Fourier, as transformadas de Fourier e outros temas. A integral de Lebesgue describe mellor como e cando é posíbel tomar límites baixo o signo integral (a través do teorema de converxencia monótona e do teorema de converxencia dominada).
Mentres que a integral de Riemann considera que a área baixo unha curva está feita de rectángulos verticais, a definición de Lebesgue considera as bandas horizontais que non son necesariamente só rectángulos, polo que é máis flexíbel. Por este motivo, a definición de Lebesgue permite calcular integrais para unha clase máis ampla de funcións. Por exemplo, a función de Dirichlet, que é 1 onde o seu argumento é racional e 0 en caso contrario, ten unha integral de Lebesgue, mais non ten unha integral de Riemann. A maiores, a integral de Lebesgue desta función é cero, o que concorda coa intuición de que ao escoller un número real uniformemente ao chou do intervalo unitario, a probabilidade de escoller un número racional debería ser cero.
Interpretación intuitiva dereita|miniatura| Móstrase unha función medíbel, xunto co conxunto (no eixo ). A integral de Lebesgue obtense cortando ao longo do eixo , utilizando a medida de Lebesgue unidimensional para medir o "ancho" das porcións. Para a integral de Riemann, o dominio divídese en intervalos e constrúense barras para cumprir coa altura da gráfica. As áreas destas barras son sumadas, e isto aproxima a integral, en efecto sumando áreas da forma onde é a altura dun rectángulo e é o seu ancho.
Para a integral de Lebesgue, o rango divídese en intervalos, polo que a rexión baixo o gráfico divídese en "bandas" horizontais (que poden non ser conxuntos conectados). A área dunha pequena "banda" horizontal baixo a gráfica de , de altura , é igual á medida da anchura da banda multiplicada por :
A integral de Lebesgue pódese definir entón sumando as áreas destas bandas horizontais. Desde esta perspectiva, unha diferenza clave coa integral de Riemann é que as "bandas" xa non son rectangulares (produtos cartesianos de dous intervalos), senón que son produtos cartesianos dun conxunto medíbel cun intervalo.
Teoría da medida A teoría da medida creouse inicialmente para proporcionar unha abstracción útil da noción de lonxitude dos subconxuntos da recta real e, de xeito máis xeral, da área e do volume dos subconxuntos dos espazos euclidianos. En particular, proporcionou unha resposta sistemática á pregunta de que subconxuntos de teñen unha lonxitude. Como demostraron os desenvolvementos posteriores da teoría de conxuntos (ver conxunto non medíbel), en realidade é imposíbel asignar unha lonxitude a todos os subconxuntos de dun xeito que preserve algunhas propiedades naturais de aditividade e invariancia de translación. Isto suxire que escoller unha clase adecuada de subconxuntos medíbeis é un requisito previo esencial.
A integral de Riemann usa explicitamente a noción de lonxitude. De feito, o elemento de cálculo para a integral de Riemann é o rectángulo , cuxa área se calcula como . A cantidade é a lonxitude da base do rectángulo e é a altura do rectángulo. Riemann só podía usar rectángulos planos para aproximar a área baixo a curva, porque non había unha teoría adecuada para medir conxuntos máis xerais.
No desenvolvemento da teoría na maioría dos libros de texto modernos (despois de 1950), o enfoque da medida e da integración é axiomático. Isto significa que unha medida é calquera función definida nunha determinada clase de subconxuntos dun conxunto , que satisfaga unha determinada lista de propiedades. Pódese demostrar que estas propiedades se manteñen en moitos casos diferentes.
Funcións medíbeis Comezamos cun espazo de medida onde é un conxunto, é unha σ-álxebra de subconxuntos de , e é unha medida (non negativa) en definida nos conxuntos de .
Por exemplo, pode ser un -espazo euclidiano ou algún subconxunto medíbel de Lebesgue, é a σ-álxebra de todos os subconxuntos medíbeis de Lebesgue de e é a medida de Lebesgue. Na teoría matemática da probabilidade, limitamos o noso estudo a unha medida de probabilidade , que cumpre .
A teoría de Lebesgue define integrais para unha clase de funcións chamadas funcións medíbeis. Unha función de valor real en é medíbel se a preimaxe de cada intervalo da forma está en :
Podemos demostrar que isto é equivalente a esixir que a preimaxe de calquera subconxunto de Borel de estea en . O conxunto de funcións medíbeis está pechado baixo operacións alxébricas, pero o máis importante é pechado baixo varios tipos de límites secuenciais punto a punto:
son medíbeis se a secuencia orixinal , onde , consta de funcións medíbeis.
Existen varias aproximacións para definir unha integral para funcións medíbeis de valores reais definidas en , e úsanse varias notacións para denotar tal integral.
Seguindo a identificación na teoría das distribucións de medidas con distribucións de orde , ou con medidas de Radon, tamén se pode usar unha notación de par dual e escribir a integral en relación a na forma
Definición A teoría da integral de Lebesgue require unha teoría de conxuntos medíbeis e medidas sobre estes conxuntos, así como unha teoría de funcións medíbeis e integrais sobre estas funcións.
Mediante funcións simples dereita|miniatura| Aproximación dunha función mediante unha función simple. Un enfoque para construír a integral de Lebesgue é facer uso das chamadas funcións simples: combinacións lineares reais e finitas de funcións indicadoras. As funcións simples que se atopan directamente baixo dunha determinada función pódense construír particionando o rango de nun número finito de capas. A intersección da gráfica de cunha capa identifica un conxunto de intervalos no dominio de , que, en conxunto, defínese como a preimaxe do límite inferior desa capa, baixo a función simple. Deste xeito, a partición do rango de implica unha partición do seu dominio. A integral dunha función simple atópase sumando, sobre estes subconxuntos (non necesariamente ligados) do dominio, o produto da medida do subconxunto e a súa imaxe baixo a función simple (o límite inferior da capa correspondente); intuitivamente, este produto é a suma das áreas de todas as barras da mesma altura. A integral dunha función medíbel xeral non negativa defínese entón como un supremo apropiado de aproximacións mediante funcións simples, e a integral dunha función medíbel (non necesariamente positiva) é a diferenza de dúas integrais de funcións medíbeis non negativas.Esta visión pódese atopar na maioría dos tratamentos de medida e integración, como por exemplo .
Funcións indicadoras Para asignar un valor á integral da función indicadora dun conxunto medíbel consistente coa medida dada , a única opción razoábel é estabelecer:
Observe que o resultado pode ser igual a , a non ser que sexa unha medida finita.
Funcións simples Unha combinación linear finita de funcións indicadoras
onde os coeficientes son números reais e son conxuntos medíbeis disxuntos, chámase función simple medíbel. Estendemos a integral por linearidade a funcións simples medíbeis non negativas. Cando os coeficientes son positivos, estabelecemos
se esta suma é finita ou +∞.
Unha función simple pódese escribir de diferentes xeitos como unha combinación linear de funcións indicadoras, mais a integral será a mesma pola aditividade das medidas.
Precísase un pouco de coidado ao definir a integral dunha función simple con valores reais, para evitar a expresión indefinida : asúmese que a representación
é tal que sempre que . Logo, a fórmula anterior para a integral de ten sentido, e o resultado non depende da representación particular de que satisfaga os supostos. (É importante que a representación sexa unha combinación linear finita, é dicir, que k só tome un número finito de valores).
Se é un subconxunto medíbel de e é unha función simple medíbel entón definimos
Funcións non negativas Sexa unha función medíbel non negativa en , que permitimos acadar o valor , noutras palabras, toma valores non negativos na recta numérica real estendida. Definimos
Debemos mostrar que esta integral coincide coa anterior, definida no conxunto de funcións simples, cando é un segmento . Tamén existe a cuestión de se isto corresponde dalgún xeito a unha noción de integración de Riemann. É posíbel demostrar que a resposta a ambas as preguntas é si.
Definimos a integral de para calquera función medíbel de valor real estendido non negativo en . Para algunhas funcións, esta integral é infinito.
A miúdo é útil ter unha secuencia particular de funcións simples que se aproxime ben á integral de Lebesgue (de forma análoga a unha suma de Riemann). Para unha función medíbel non negativa , sexa a función simple cuxo valor é sempre que para un enteiro non negativo menor que, por exemplo, Entón pódese probar directamente que
e que o límite do lado dereito existe como un número real estendido. Isto liga a conexión entre o enfoque da integral de Lebesgue mediante funcións simples e a motivación da integral de Lebesgue mediante unha partición do intervalo.
Funcións con signo