miniatura|Teorema de Ceva, caso 1: as tres rectas concorren nun punto dentro de miniatura|Teorema de Ceva, caso 2: as tres rectas concorren nun punto fóra de Na xeometría euclidiana, o teorema de Ceva é un resultado sobre os triángulos. Dado un triángulo , considéranse as rectas trazadas desde os vértices ata un punto común (que non pertence a ningún dos lados de ), de modo que cortan os lados opostos en , respectivamente. (Os segmentos chámanse cevianas). Entón, empregando lonxitudes con signo dos segmentos:
(a lonxitude considérase positiva ou negativa segundo que estea á esquerda ou á dereita de , segundo unha orientación fixa da recta. Por exemplo, é positiva se está entre e , e negativa no caso contrario).
O teorema de Ceva pertence á xeometría afín, no sentido de que pode formularse e demostrarse sen empregar os conceptos de ángulos, áreas ou lonxitudes (agás para cocientes de lonxitudes de segmentos colineais). Por tanto, é válido para triángulos en calquera plano afín sobre calquera corpo.
Tamén é certa unha versión recíproca lixeiramente adaptada: se os puntos se escollen sobre , respectivamente, de modo que
entón as rectas son concorrentes, ou ben todas son paralelas. Esta recíproca adoita incluírse como parte do teorema.
O teorema atribúese habitualmente a Giovanni Ceva, que o publicou no seu traballo de 1678, De lineis rectis. Porén, xa fora demostrado moito antes por Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd, rei de Zaragoza no século XI.
As figuras asociadas dan lugar a varios termos derivados do nome de Ceva: ceviana (as rectas son as cevianas de ), triángulo ceviano (o triángulo é o triángulo ceviano de ); nacemento de cevianas, triángulo anticeviano, conxugado de Ceva. (Ceva pronúnciase /chéiva/; ceviana pronúnciase /cheviána/).
O teorema é moi semellante ao teorema de Menelao, pois as súas expresións difiren só no signo. Ao reescribilos en termos de razóns cruzadas, vese que son duais proxectivos.
Notas
Categoría:Xeometría