+Algúns obxectos estudados en álxebra linear120pxVectores180pxEspazos vectoriais120pxAplicacións lineares160pxSistemas de ecuacións lineares120pxMatricesAutovalores e autovectores120pxCuádricas180pxTensores A álxebra lineal ou álxebra linear é o estudo das propiedades matemáticas xeradas polos sistemas de ecuacións lineares. Estreitamente ligados están os vectores e os espazos vectoriais, que son a base da linguaxe xeométrica usada nesta rama das matemáticas.
No campo de estudo da álxebra linear áchanse, entre outros, as aplicacións lineares; as matrices e os determinantes; os espazos afíns e euclidianos; as formas cadráticas; os autovalores e os autovectores; os lugares xeométricos no plano, como as cónicas, e no espazo, como as cuádricas; as curvas no plano e no espazo; as superficies no espazo; e os tensores.
Moitos destes conceptos, son tamén obxecto de estudo doutras ramas da matemática como a análise matemática, a topoloxía e a xeometría; diferenciándose o estudo que deles fai a álxebra linear no enfoque vectorial deste.
A álxebra linear é moi útil en disciplinas onde se estudan fenómenos mediante modelos lineares, caracterizados polas propiedades de aditividade (se unha variábel produce un certo efecto a, e outra variábel produce outro efecto b; a suma das dúas producirá o efecto a+b) e homoxeneidade (ao se multiplicar unha variábel por un número real, o seu efecto multiplicarase por ese mesmo número real).
Estes modelos aparecen en multitude de áreas dentro e fóra das matemáticas. Algúns exemplos son: a análise funcional, as ecuacións en diferenzas, as ecuacións diferenciais lineares,as ecuacións integrais lineares, a programación linear, a investigación de operacións, o cálculo de probabilidades, a informática, a mecánica cuántica, a electrotecnia, o movemento de corpos ríxidos, problemas de frecuencias de vibración de átomos, a enxeñaría, a economía etc.
Historia miniatura|esquerda|Hermann Grassmann, matemático alemán considerado o mestre da moderna Álxebra linear. Os primeiros elementos do que hoxe se coñece como Álxebra lineal acháronse no documento matemático máis antigo que chegou ata os nosos días: o Papiro de Rhind, conservado no Museo Británico (British Museum) -con algúns fragmentos no Museo de Brooklyn (Brooklyn Museum)-, coñecido tamén como o Libro de Cálculo, escrito polo sacerdote exipcio Ahmés cara ao ano 1.650 a.C. Neste valioso documento considéranse as ecuacións de primeiro grao, onde a incógnita aparece representada por un ibis que significa furgando no chan, posibelmente pola súa primoxénica aplicación á agrimensura .
Tamén se atopan antecedentes estruturais na álxebra babilónica: a execución da división como a multiplicación dun número polo inverso do divisor leva implícitos rudimentos da Teoría de Grupos . Os matemáticos gregos, pola súa banda, non se van ocupar dos problemas lineares, a pesar de que a solución xeral da ecuación de segundo grao aparece no tratado dos Elementos de Euclides.
Os matemáticos chineses durante os séculos III e IV a.C. continúan a tradición dos babilonios e legáronnos os primeiros métodos do pensamento lineal. Na obra Novos capítulos sobre a Arte Matemática de Chuan Tsanom, escrita no ano 152 a.C., durante a Dinastía Han, inclúense sistematicamente todos os coñecementos matemáticos da época. Neste tratado aparece o seguinte sistema linear:
Así como un método para a súa resolución, coñecido como a regra de "fan-chen", a cal en esencia, é o coñecido método de eliminación de Gauss dos nosos días.
A álxebra linear tivo un pulo considerábel no mundo islámico, destacando Al-Khwarizmi, quen traduciu ao árabe os textos matemáticos indios e reinterpretou os traballos da escola grega. O seu traballo será a fonte do desenvolvemento da álxebra nos séculos posteriores .
Acontecementos cruciais no desenvolvemento da álxebra linear foron: a descuberta dos números complexos como unha extensión dos números reais, e a primeira demostración do nomeado Teorema fundamental da álxebra, o cal afirma que cada polinomio non constante con coeficientes complexos ten polo menos unha raíz complexa. O precursor dos números complexos foi o médico, astrólogo, filósofo e matemático milanés Girolamo Cardano (1501 - 1576).
No século XVII, René Descartes formula problemas de xeometría, como a determinación da intersección de dúas rectas en termos de ecuacións lineares, establecendo desde entón unha ponte entre dúas ramas matemáticas ata entón separadas: a álxebra e a xeometría. Se ben non define a noción básica da álxebra lineal que é a de espazo vectorial, utilízao xa con éxito dun xeito implícito, fundado esencialmente nas ideas xeométricas subxacentes.
Ata o século XVIII a álxebra era, esencialmente, a arte de resolver ecuacións dun grao arbitrario. O matemático e filósofo francés, e un dos iniciadores da Enciclopedia, D'Alembert, descubriu que as solucións dun sistema AX=B forman unha variedade linear. Así mesmo, Euler, Lagrange e o mesmo D'Alembert decátanse de que a solución xeral do sistema homoxéneo AX=0 é unha combinación linear dalgunhas solucións particulares.
O seguinte progreso na álxebra linear foi a definición e a análise das primeiras propiedades dos determinantes, que foron usados para a resolución de sistemas de ecuacións lineares. Os determinantes foran xa usados por Leibniz en 1693. Posteriormente, en 1750, Gabriel Cramer ideou a regra de Cramer para resolver sistemas lineares. miniatura|Giuseppe Peano estableceu a base axiomática da Álxebra linear. É no século XIX cando a álxebra linear adquire relevancia converténdose nunha rama propia das matemáticas. Gauss desenvolve o método de eliminación de Gauss de resolución de sistemas lineares, inicialmente relatado como un avance en xeodesia. Camille Jordan resolve definitivamente o problema da redución dun endomorfismo. En 1843, William Rowan Hamilton (inventor do termo vector) descobre os cuaternións (extensión do corpo dos números complexos) que describen a mecánica en tres dimensións. En 1844, Hermann Grassmann publica seu tratado Die lineale Ausdehnungslehre (A teoría da extensión linear), que é a primeira tentativa de formalización xeral da noción de espazo vectorial. A pesar de pasar desapercibida cando foi publicada, esta obra contén o esencial das ideas modernas da álxebra linear. Grassmann introduce o produto xeométrico e o linear, sendo o primeiro deles o equivalente ao noso produto vectorial; tamén introduce as nocións de independencia linear dun conxunto de vectores, así como a dimensión dun espazo vectorial, e proba a identidade clásica. En 1848 James Joseph Sylvester introduce o termo matriz. Arthur Cayley define a multiplicación de matrices e a matriz inversa mentres estudaba a composición de aplicacións lineares. Aínda que unha matriz está formada por moitos elementos distrbuídos en filas e columnas, Cayley usaba unha única letra para denotar unha matriz. Este feito foi crucial para o desenvolvemento da álxebra matricial. Tamén foi o primeiro en intuír unha conexión entre matrices e determinantes, ao respecto escribiu: "Habería moitas cousas que dicir acerca desta teoría de matrices a cal, paréceme, precedería á teoría dos determinantes". En 1882, Hüseyin Tevfik Pasha usa por primeira vez a denominación Álxebra Linear ao escribir un libro titulado Linear Algebra. En 1888, Giuseppe Peano dá a primeira e máis precisa definición de espazo vectorial e axiomatiza enteiramente a teoría. Peano recoñeceu a contribución fundamental de Grassmannn no desenvolvemento da disciplina.
Arredor de 1900 aparece a teoría das aplicacións lineares entre espazos vectoriais de dimensión finita. A álxebra linear adquire a súa forma moderna durante a primeira metade do século XX, cando moitas das ideas e métodos dos séculos precedentes son xeneralizados como álxebra abstracta. Os espazos vectoriais vólvense entón unha estrutura xeral omnipresente en case todos os terreos matemáticos, sobre todo en análise matemática e espazos funcionais. O uso das matrices en mecánica cuántica, relatividade especial e estatística, axuda a espallar a disciplina da álxebra linear máis alá das matemáticas puras. O desenvolvemento dos ordenadores fai incrementar a investigación en algoritmos eficientes para o método de Gauss e a descomposición de matrices, e a álxebra linear convértese nunha ferramenta esencial na modelización e na simulación.
Introdución elemental miniatura|Un espazo vectorial é unha colección de obxectos, chamados "vectores", que poden sumarse entre eles e multiplicarse por escalares. A álxebra linear ten as súas orixes no estudo dos vectores no espazo cartesiano de dúas e tres dimensións. Un vector, neste caso, é un segmento orientado, caracterizado pola súa lonxitude (ou módulo), a súa dirección e o seu sentido. Os vectores úsanse para representar determinadas entidades físicas como as forzas, e poden sumarse entre eles e multiplicarse por un escalar, formando, xa que logo, o primeiro exemplo de espazo vectorial sobre o corpo dos números reais.
A álxebra linear moderna ampliou o seu campo de estudo para incluír os espazos de dimensión arbitraria ou infinita. Un espazo vectorial de dimensión n chámase n-espazo. Moitos dos resultados dos 2-espazos e 3-espazos poden estenderse aos espazos de dimensión maior. Aínda que moitas persoas non son quen de visualizar facilmente vectores nos n-espazos, estes vectores ou n-uplas son útiles para representar datos, pois poden considerarse como listas ordenadas de n compoñentes. Deste xeito son facilmente comprendidos e manipulados os datos con esta estrutura. Por exemplo, en economía pódese crear un vector 8-dimensional para representar o Produto Interior Bruto (PIB) de 8 estados. Para un ano particular, o PIB dos 8 estados será un 8-vector onde, dada unha certa orde nos países, o PIB dun país concreto será o valor do 8-vector que ocupa a posición correspondente a ese país.
Un espazo vectorial defínese sobre un corpo. Se o corpo é o conxunto dos números reais, teremos un espazo vectorial real; cando o corpo é o dos números complexos, será un espazo vectorial complexo. Unha aplicación linear fai corresponder elementos dun espazo vectorial sobre os elementos doutro espazo vectorial (ou sobre si mesmo), de maneira que se conserve a compatibilidade coa suma e a multiplicación escalar definida no espazo vectorial. O conxunto de todas as aplicacións lineares dun espazo vectorial sobre outro son tamén un espazo vectorial. Fixada unha base para un espazo vectorial, todas as aplicacións lineares sobre ese espazo vectorial poden representarse mediane unha táboa chamada matriz, cuxas propiedades tamén son obxecto de estudo na álxebra linear, así como os algoritmos para calcular as cantidades importantes que as caracterizan como o seu rango, o seu determinante, ou o seu conxunto de autovalores. Un espazo vectorial (ou espazo linear), como concepto puramente abstracto sobre o que se proban teoremas, é parte da álxebra abstracta, e está ben integrado neste campo: algúns obxectos alxébricos relacionados son, por exemplo, o anel das aplicacións lineares dun espazo vectorial en si mesmo, ou o grupo das aplicacións lineares (ou matrices) inversíbeis. A álxebra linear xoga tamén un papel importante na análise matemática, especialmente na descrición das derivadas de orde superior na análise vectorial e na resolución das ecuacións diferenciais.