dereita|220px|miniatura|Os catro exemplos de intersección dun plano cun cono: parábola (1), elipse (2 superior), hipérbole (3) e circunferencia (2 inferior).
Denomínase sección cónica, ou simplemente cónica, á intersección dun cono circular recto cun plano que non pasa polo seu vértice. Clasifícanse en tres tipos: elipse, parábola e hipérbole.
Etimoloxía
A primeira definición coñecida de sección cónica é da Antiga Grecia, polo ano -350 (no Menæchmus) onde a definiron como sección «dun cono circular recto».Oswald Veblen, John Wesley Young, Proyective Geometry, vol I, Ginn & Co. Ed. (1910) Os nomes de hipérbole, parábola e elipse débenselle a Apolonio de Perge. Actualmente, as seccións cónicas poden definirse de varias maneiras; segundo as diversas ramas das matemáticas (xeometría analítica, a xeometría proxectiva etc.).
Tipos miniatura|Perspectiva das seccións cónicas. miniatura|As catro seccións cónicas no plano.
En función da relación existente entre o ángulo de conicidade (α, ángulo da xeratriz coa base) e a inclinación do plano respecto do eixo do cono (β), poden obterse diferentes seccións cónicas, a saber:
β < α : Hipérbole (laranxa) β = α : Parábola (azulado) β > α : Elipse (verde) β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (vermello)
Se o plano pasa polo vértice do cono, pódese ver que: Cando β > α a intersección é un único punto (o vértice). Cando β = α a intersección é unha recta xeratriz do cono (o plano será tanxente ao cono). Cando β < α a intersección virá dada por dúas rectas que se cortan no vértice. O ángulo formado polas rectas irá aumentando a medida que β diminúe, ata alcanzar o máximo (α) cando o plano conteña o eixe do cono (β = 0).
Expresión alxébrica
220px|miniatura|Partindo dunha circunferencia (e=0), ao aumentar a excentricidade obtéñense elipses, parábolas e hipérboles.
En coordenadas cartesianas, as cónicas exprésanse en forma alxébrica mediante ecuacións cadráticas de dúas variables (x,y) da forma:
na que, en función dos valores dos parámetros, terase:
h² > ab: hipérbole.
h² = ab: parábola.
h² < ab: elipse.
a = b e h = 0: circunferencia .
Características
A elipse é o lugar xeométrico dos puntos do plano tales que a suma das distancias a dous puntos fixos chamados focos é constante.
Ademais dos focos F e F´, nunha elipse destacan os seguintes elementos:
Centro, O Eixe maior, AA´ Eixe menor, BB´ Distancia focal, OF
A elipse con centro (0, 0) ten a seguinte expresión alxébrica:
A hipérbole é o lugar xeométrico dos puntos do plano cunha diferenza de distancias a dous puntos fixos, chamados focos, constante e menor que a distancia entre os focos.
Ten dúas asíntotas (rectas cuxas distancias á curva tenden a cero cando a curva se achega ao infinito). As hipérboles con asíntotas perpendiculares denomínanse hipérboles equiláteras.
Ademais dos focos e das asíntotas, na hipérbole destacan os seguintes elementos:
Centro, O Vértices, A e A Distancia entre os vértices Distancia entre os focos
A ecuación dunha hipérbole con centro (0, 0), é:
A parábola é o lugar xeométrico dos puntos do plano que equidistan dun punto fixo chamado foco, e dunha recta chamada directriz.
Ademais do foco, F, e da directriz, d, nunha parábola destacan os seguintes elementos:
Eixe, e Vértice, V Distancia entre o foco e a directriz
Unha parábola, co vértice na orixe e o seu eixe coincidente coas ordenadas, ten a seguinte ecuación:
Aplicacións
As curvas cónicas son importantes na astronomía: dous corpos masivos que interactúan segundo a lei de gravitación universal, as súas traxectorias describen seccións cónicas se o seu centro de masa se considera en repouso. Se están relativamente próximos describirán elipses, se están máis lonxe, describirán hipérboles ou parábolas.
Tamén son importantes na aerodinámica e na súa aplicación industrial, xa que permiten ser repetidas por medios mecánicos con grande exactitude, logrando superficies, formas e curvas perfectas.
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Cónica dexenerada Debuxo técnico Xeometría Xeometría descritiva Ligazóns externas Cónicas en wmatem.eis.uva.es
Categoría:Xeometría