En matemáticas, unha forma bilineal é un operador bilineal dun espazo vectorial sobre un corpo . Noutras palabras, unha forma bilineal é unha aplicación que é lineal en respecto de cada un dos seus argumentos:
O produto escalar habitual en é un exemplo de forma bilineal que ademais é un produto interno.
A definición dunha forma bilinear pode estenderse para o caso de módulos sobre un anel, substituíndo as aplicacións lineais por homomorfismos de módulos.
Cando é o corpo dos números complexos , adoitan ser de maior interese as formas sesquilineais, que son similares ás formas bilineais, pero antilineais respecto da segunda variable.
Matriz asociada a unha forma bilineal
Sexan un -espazo vectorial -dimensional e unha base. A matriz dunha forma bilinear na base , representada por , defínese como
Por exemplo, nunha base ortonormal, o produto escalar euclidiano represéntase pola matriz de identidade de orde .
Se e son vectores de expresados en función da base , entón ou, en forma matricial,
Isto dinos que , a matriz dunha forma bilineal na base do espazo , determina a forma bilineal e nos permite calcular a imaxe de calquera par de vectores . De feito, a aplicación
onde representa o espazo de formas bilineais sobre , é un isomorfismo de espazos vectoriais.
Unha forma bilinear ten diferentes matrices sobre diferentes bases, mais todas elas son congruentes e teñen como matriz de paso a matriz de cambio de base correspondente.
Propiedades
Formas bilineais non dexeneradas Toda forma bilineal ten asociadas dúas aplicacións lineais dadas por
É habitual empregar a notación e , onde o punto indica o lugar da variable non fixa (véxase currificar). Cando a forma é simétrica, tamén se emprega a notación , pois .
Para un espazo vectorial de dimensión finita, se calquera de ou é un isomorfismo, entón sono ambas e dise que a forma bilineal é non dexenerada. En xeral, diremos que unha forma bilineal é non dexenerada se ou, equivalentemente, se se ten que para todo só se .
Dada unha aplicación lineal , a aplicación dada por é unha forma bilineal. Ademais esta forma será non dexenerada se e só se é un isomorfismo.
Se é finito dimensional, unha forma bilinear é non dexenerada se e só se o determinante da matriz asociada respecto dunha base é distinto de cero (se e só se a matriz é non singular). Nótese que, por seren todas elas congruentes, o criterio é independente da base escollida.
Simetría, antisimetría e formas alternadas Diremos que unha forma bilineal é
simétrica se para todo ; alternada se para todo ; antisimétrica se .
Expandindo por bilinealidade a expresión , pódese ver que se unha forma bilineal é alternada, entón é tamén antisimétrica. Se a característica do corpo é distinta de 2, entón o recíproco tamén é certo: toda forma antisimétrica é alternada.
Unha forma bilineal é simétrica (respectivamente antisimétrica) se e só se a súa matriz asociada (relativa a calquera base) é simétrica (respectivamente antisimétrica). Unha forma bilineal é alternada se e só se a súa matriz de coordenadas é antisimétrica e as entradas diagonais son todas cero (o que se segue da antisimetría cando ).
Se , entón toda forma bilinear pode descompoñerse nunha parte simétrica e unha parte antisimétrica (véxase álxebra tensorial). Análogamente, no caso de matrices, se con , entón podemos descompoñela como suma dunha matriz simétrica e unha antisimétrica, respectivamente, como segue
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Tamén:
Outros artigos Determinante (matemáticas) Forma cadrática Forma sesquilineal Operador bilineal Produto interno Tensor
Ligazóns externas
Categoría:Álxebra lineal Categoría:Álxebra abstracta