n-ti korijen danog realnog broja x (aritmetički korijen) je broj koji pomnožen sam sa sobom n puta daje x. Takav se i zapisuje kao . Računska operacija kojom nalazimo korijen od nekog broja naziva se korjenovanje.Jasenka Đurović, Ivo Đurović, Sanja Rukavina: Matematika 1 (udžbenik za I. razred gimnazije), Element, Zagreb, 1996. Dakle, primjerice, neka je
Tada vrijedi i:
U izrazu prirodni broj se naziva eksponent ili stupanj korijena, a broj naziva se radikand (lat. radix znači korijen).
Najčešće se koristi kvadratni (drugi) korijen, koji se obično zapisuje bez eksponenta (). Također se često koristi i kubni (treći) korijen.
Na skupu realnih brojeva, korijeni s parnim eksponentom (drugi, četvrti, šesti itd.) realni su samo za nulu i pozitivne brojeve. Kod negativnih brojeva određivanje parnog korijena zahtijeva uvođenje imaginarne jedinice (v. kompleksni brojevi).
U algebri se definicija korijena proširuje i na eksponente koji nisu cijeli, pa i na kompleksne brojeve. N-ti korijen gdje je n=p/q se prikazuje kao p-ti korijen na q-tu potenciju. To vrijedi za sve racionalne korijene, koji se mogu prikazati u obliku razlomka. Svaki od njih ima p korijena (ili n, ukoliko je q = 1).
Iracionalni korijeni, (npr. π-korijen) imaju beskonačno puno rješenja. Dok su racionalni korijeni točke na kružnici u kompleksnoj ravnini polumjera koji odgovara korijenu apsolutne vrijednosti broja koji se korijene i kuta koji je jednak 2kπ/p, gdje k ide od 1 do beskonačnosti, ali se rješenja ponavljaju za svaka 2π, kod iracionalnih korijena to nije slučaj. Nakon svakog novog kruga, točka se pomakne. S time da kako je k prebrojivo beskonačno, moramo naglasiti da njihov broj ipak ne pokriva cijelu kružnicu.
Kod komplesnih brojeva vrijedi da je 1/i=-i, pa je i-ti korijen jednak rotaciji u suprotnom smjeru u kompleksnoj ravnini. Kako se bilo koja potencija kompleksnog broja z=x+yi na bazu a može prikazati kao a^(x+yi)=a^x*cis(y*ln(a)), gdje je cis(w)=cos(w)+i*sin(w), a w kompleksni broj oblika w=a+b*i.
Analogijom se da izračunati i korijen kompleksnog broja a^(1/z)=e^A*cis(B), gdje je A=(x*ln|a|+y*θ) / (x^2+y^2), a B= (xθ−yln∣a∣) / (x^2+y^2), a sam θ=arg(a)+2πk. Iz prikaza je očito da se korijen kompleksnog broja ne može se jedinstveno definirati kao niti njegov logaritam, nego da postoji beskonačno puno vrijednosti, koje se tek u graničnim slučajevima poklapaju.
Drugi korijen Kada se pozitivan broj kvadrira, dobije se pozitivan broj. Kada se negativan broj kvadrira, dobije se opet pozitivan broj.
Drugi korijen uvijek ima dva rješenja. Jedno pozitivno, a drugo negativno. Na kalkulatoru se prikazuje isključivo jedno nenegativno rješenje. Kada ga se gleda kao funkciju, u obzir dolazi samo pozitivno rješenje za crtanje grafa.
Isto vrijedi i za sve ostale parne korijene realnih brojeva. Svaki od njih ima n-rješenja (ovisno koji je korijen, četvrti korijen ima četri, osmi osam...), no za funkciju se uzimaju samo nenegativne vrijednosti.
Krivo je:
Ispravno je:
Jer vrijedi:
Neka svojstva
Za realne m, n ≠ 0 i x, y ≥ 0:
Povezani članci Potenciranje Logaritam
Izvori
Kategorija:Aritmetika