Cantorov teorem jedan je od najznačajnijih teorema naivne teorije skupova. Teorem je 1891. dokazao njemački matematičar Georg Cantor u svom radu „Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre” (njem. O elementarnom pitanju teorije različitosti).
Teorem tvrdi da je kardinalni broj svakog skupa strogo manji od kardinalnog broja njegova partitivnog skupa, tj. . Izravna i važna posljedica ovog teorema je ta da ne postoji „najveći kardinalni broj”.Cantor's Theorem Whitman.edu. Pristupljeno 17. svibnja 2025.
Dokaz Postoje dva slučaja. Naime, skup može biti prazan ili neprazan.
1. Neka je prazan skup, odnosno neka je . Ovo povlači , čime je teorem u ovom slučaju dokazan.
2. Neka je neprazan skup, tj. neka je . Dokažimo da je tada . Postoji injekcija sa skupa u , tj. . To znači da je zaista .
Pokažimo sada da je . Pretpostavimo suprotno, tj. pretpostavimo da je . Neka je bijekcija. (Ona postoji jer su prema pretpostavci skupovi i iste kardinalnosti.)
Sada slijedi poznati argument koji je prvi upotrijebio Cantor. Naime, formirajmo skup Skup se nalazi u . Budući da je bijekcija, vrijedi da je surjekcija, tj. takav da je
Mogu nastupiti dva slučaja:
1. , što je kontradikcija.
2. , što je također kontradikcija.
Iz ovoga slijedi da nije bijekcija, tj. ne postoji bijekcija sa skupa u skup što povlači , čime je teorem dokazan.
Izvori
Kategorija:Matematika