U matematičkoj analizi, Leibnizov kriterij je metoda koja se koristi da se pokaže da je izmjenični (alternirani) red konvergentan kada njegovi članovi opadaju po apsolutnoj vrijednosti i kada je niz tih članova konvergentan s limesom u nuli. Ovaj test je koristio njemački matematičar i filozof Gottfried Leibniz te je po njemu i nazvano ovo pravilo.
Ovaj test je samo dovoljan, no ne i nužan uvjet, tako da neki konvergentni alternirani nizovi mogu pasti na prvom dijelu testa.
Iskaz teorema Ako je , opadajući nula-niz (niz s limesom u nuli), tada je alternirani red konvergentan i za njegovu sumu i njegov -ti ostatak vrijedi te je
Ako je pak , dokaz se provodi posve analogno.
Dokaz Iz relacija i , vidimo da niz monotono raste, a da niz monotono pada. Također, iz vidimo da je niz ograničen odozgo sa , a da je niz ograničen odozdo sa pa su oba ova niza konvergentna. Dakako, postoje i u . Zato imamo da vrijedi
i zaključujemo da je pa niz konvergira k , što znači da je .
Sada iz slijedi , tj. . (*)
Preostaje još ocijeniti -ti ostatak . Iz koristeći (*) zaključujemo da je , što je i trebalo pokazati.
Izvori
Kategorija:Matematika