desno|thumb|upright=1.25|Ptolomejev poučak daje vezu između duljina stranica tetivnog četverokuta: .
Ptolemejev ili Ptolomejev poučak teorem je u euklidskoj geometriji koji daje nužan uvjet da bio četverokut bio tetivan (cikličan), tj. da bi se oko njega mogla opisati kružnica.
Teorem je koristio starogrčki matematičar Klaudije Ptolomej u svome djelu Almagest u kojem je priredio tablice tetiva od 0.5° do 180° s razmakom od pola stupnja.
Iskaz teorema glasi ovako: U svakom tetivnom četverokutu zbroj umnožaka duljina nasuprotnih stranica jednak je umnošku duljina dijagonala.Sanja Hršak, Ptolomejev teorem - dokazi, posljedice i poopćenja, Zagreb, 2018.
Odnosno, ako je četverokut tetivan, tada vrijedi sljedeća jednakost:
Obrat Ptolomejeva poučka također vrijedi.
Dokaz Vizualni dokaz
Klasični dokaz
Konstruirajno kut jednak kutu .
Kako su i obodni kutovi nad istim lukom, oni su sukladni, pa su trokuti i slični. Zbog te je sličnosti , odnosno
.
Na isti se način dobije da su trokuti i slični, pa slijedi , odnosno .
Zbrajanjem tih dviju jednakosti imamo:
a kako je slijedi:
što je i trebalo pokazati.Branimir Dakić, Neven Elezović, Udžbenik i zbirka zadataka za 1. razred gimnazija i tehničkih škola 2. dio, Element, Zagreb, 2014.
Ako pak tetivni četverokut nije jednostavan, tada će ležati izvan segmenta . No, u ovom slučaju je , što opet daje željeni rezultat.
Ptolomejeva nejednakost Općenitija tvrdnja koja vrijedi samo za tetivne četverokute naziva se Ptolomejeva nejednakost, a ona glasi ovako: za dani četverokut vrijedi
.
Jednakost vrijedi ako i samo ako je četverokut tetivni (ciklični) pa je ovaj poseban slučaj ekvivalentan Ptolomejevu poučku.
Izvori
Kategorija:Matematika