U fizici, Eulerove jednadžbe su jednadžbe koje opisuju rotaciju krutog tijela, korištenjem rotirajućeg referentnog sustava čije su osi fiksne za rotirajuće tijelo.
Eulerove jednadžbe predstavljaju rotacijski pandan drugom Newtonovom zakonu.
Nazvane su u čast Leonharda Eulera.
Formalizam
Bilanca kutne količine gibanja (kinetičkog momenta) glasi:
gdje je:
ukupni kinetički moment sustava,
rezultantni moment sile koji djeluje na sustav.
Ova jednadžba izražava rotacijski oblik Newtonovog drugog zakona i kaže da je brzina promjene kutnog momenta jednaka primijenjenom momentu sile.
Eulerove jednadžbe
Koristeći transportni teorem bilanca kutne količine gibanja glasi:
odnosno u indeksnom zapisu glasi:
Ukoliko se osi koordinatnog sustava koji je fiksiran za tijelo poklapaju s glavnim osima tromosti tijela, tada vrijedi da je te jednadžba se može zapisati kompaktno u vektorskom obliku kao:
gdje je rezultatntni moment sile, je tenzor inercije, a je vektor kutno ubrzanje. Sve veličine definirane u rotirajućem referentnom sustavu.
Ukoliko se raspišu, Eulerove jednadžbe zapravo čine sustav običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda:
gdje su , i raspisani po komponentama.
Izvod
Kinetički moment čestice glasi:
Euler-Arnoldova jednadžba
Eulerove jednadžbe za dinamiku krutog tijela mogu se izvesti iz Euler-Arnoldove jednadžbe, klase parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje opisuju geodetski tok na beskonačno-dimenzionalnim Liejevim grupama opremljenim desno-invarijantnim metrikama. Također, Eulerove jednadžbe dinamike fluida mogu se izvesti iz iste Euler-Arnoldove jednadžbe.
Bilješke
Izvori
Kategorija:U izradi Kategorija:Fizika