Funkcija (lat. functio, izvršenje) ili preslikavanje je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova koji predstavlja preslikavanje članova jednog skupa (domena) u drugi (kodomena). Pri tome preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se preslikava u točno jedan član kodomene.
Definicija Funkcija ili preslikavanje je uređena trojka koja sadrži skupove , i neko pravilo po kojem se svakom članu pridružuje jedinstveni član tako da je .
Skup se naziva područje definicije ili domena funkcije , a skup područje vrijednosti ili kodomena funkcije . Član domene je nezavisna varijabla ili argument funkcije , a član kodomene je zavisna varijabla funkcije .
Želimo li istaknuti skupove na kojima funkcija izvršava pridruživanje, pišemo . Želimo li istaknuti pravilo po kojem funkcija djeluje, pišemo .
Jednakost funkcija Funkcije i su jednake, što zapisujemo sa , ako vrijedi: imaju jednake domene, tj. ; imaju jednako pravilo preslikavanja tj. .
Na primjer, funkcije i nisu jednake. One imaju jednako pravilo pridruživanja, jer, kada se kod skrati razlomak, dobijemo . Međutim, nemaju jednaku domenu, jer funkcija nema vrijednost za . Dijeljenje s nulom nije definirano, pa je domena , skup realnih brojeva bez nule. Domena , čitav skup realnih brojeva.
Klasifikacija funkcija Funkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su injektivnost, surjektivnost i bijektivnost.
Injekcija ili 1-1 preslikavanje je funkcija takva da ne postoje dva različita člana domene koja se preslikavaju u isti član kodomene. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo injektivnosti i da je injektivna. Matematički zapisujemo, ili ekvivalentnu tvrdnju .
Slika funkcije f je skup članova iz kodomene na koje se preslikava neki član domene. Sliku funkcije f označavamo s .
Surjekcija ili preslikavanje na je funkcija čija slika je jednaka cijeloj kodomeni . Drugim riječima, za svaki član kodomene postoje jedan ili više članova iz domene koji se u njega preslikavaju tj. ima bar jednu prasliku. Matematički zapis: . Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo surjektivnosti i da je surjektivna.
Bijekcija ili 1 na 1 korespondencija ili obostrano jednoznačno preslikavanje je funkcija koja je injektivna i surjektivna. Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo bijektivnosti.
Primjer bijekcije je funkcija identiteta, odnosno funkcija definirana s .
Ostala svojstva involutivnost: kažemo da je funkcija (operacija) involucija (lat. obavijanje) ako je za svaki iz njezine domene. Primjeri takvih funkcija, odnosno operacija, uključuju logičku negaciju (jer je ), tako i negaciju realnih brojeva (), komplementiranje u teoriji skupova (npr. ), centralnu simetriju u euklidskoj geometriji i sl. idempotentnost: kažemo da je funkcija (operacija) idempotencija (lat. idem – isto, potentem – imati moć) ako je za svaki iz njezine domene.idempotent Ugrubo, to znači da neka operacija daje isti rezultat bilo da se izvršava jednom ili više puta.
Graf funkcije mini|Graf funkcije Graf funkcije jest skup točaka ravnine za koje vrijedi te čine krivulju. Formalnije, to je skup .
Bilješke
Vidi još Funkcija identiteta Konstantna funkcija Nulfunkcija Linearna funkcija Kvadratna funkcija Kubna funkcija Polinomna funkcija Eksponencijalna funkcija Trigonometrijske funkcije
Izvori
Kategorija:Matematika