mini|300px|desno|Mjerna prigušnica prema standardu ISO 5167 za mjerenje protoka.

mini|desno|300px|Venturijeva cijev: tlak u prvoj mjernoj točki u cijevi p1 je viši nego u drugoj p1, a brzina fluida v je niža u mjernoj točki "1", jer je poprečni presjek u točki "1" veći nego u "2".

Bernoullijeva jednadžba (prema Danielu Bernoulliju) je osnovni zakon gibanja fluida. Proizlazi iz primjene zakona o očuvanju energije na strujanje fluida. Odatle se dobije da zbroj:

ima istu vrijednost posvuda u fluidu koji struji vodoravno, gdje je p tlak, ρ gustoća i v brzina fluida u nekoj točki, a h visina visina težišta poprečnog presjeka fluida u odnosu na neku vodoravnu ravninu. Prema tome, ondje gdje je brzina tekućine veća, tlak je manji, ondje gdje je brzina tekućine manja, tlak je veći. Na Bernoullijevoj jednadžbi osnivaju se mnoge inženjerske primjene, kao na primjer let zrakoplova: zrak struji uz gornju zakrivljenu plohu krila brže nego ispod krila, pa je tlak na donju plohu krila veći nego na gornju, što ima za posljedicu da na krila djeluje ukupna sila prema gore koja diže zrakoplov.

Bernoullijeva jednadžba prikazuje odnos između brzine, tlaka i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja nestlačive idealne tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih prereza; porastom brzine tekućine pada njen hidrostatski tlak i obratno. Zbroj hidrostatskog tlaka i hidrodinamičkog tlaka u vodoravnom strujanju daje ukupan tlak koji je konstantan u svim prerezima cijevi. Drugim riječima, Bernoullijeva jednadžba predstavlja zakon očuvanja energije koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da za vrijeme stacionarnog strujanja jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima konstantnu energiju duž cijele strujne cijevi.

Energija tekućina mini|300px|desno|Geodetska visina je visina tekućine koja se može spustiti i izvršiti rad, a jednaka je njenoj potencijalnoj energiji.

mini|desno|300px|Torricellijev zakon istjecanja.

Tekućine mogu imati energiju u različitim oblicima.

Potencijalna energija tekućina

Tekućina mase m (kg), koja se nalazi na nekoj visini z (m), mjerenoj od neke vodoravne ravnine, ima potencijalnu energiju:

Naime s te visine tekućina se može spustiti i izvršiti rad kolika je njezina potencijalna energija. Visina z, na kojoj se tekućina nalazi, zove se geodetska visina. Ona se mjeri geodetskim instrumentom, totalnom stanicom ili teodolitom.

Tlačna energija tekućine Tekućina ima energiju i zbog hidrostatskog tlaka p. Priključimo na izlaznu cijev posude, u kojoj se nalazi tekućina, jednu usku cijev. Tekućina će se u toj cijevi dignuti na visinu h, koja odgovara hidrostatskom tlaku, to jest:

a tlačna energija ove tekućine obujma V jest:

Visina na koju se tekućina podigne zbog hidrostatskog tlaka zove se manometarska visina.Velimir Kruz: "Tehnička fizika za tehničke škole", "Školska knjiga" Zagreb, 1969.

Kinetička energija tekućine

Zamislimo da imamo rezervoar u koji dotječe tekućina sa strane tako da uvijek stoji na istoj razini. Na dnu rezervoara nalazi se otvor kroz koji tekućina istječe. Tekućina mase m (kg) na nekoj visini h ima potencijalnu energiju m ∙ g ∙ h. Kad tekućina istječe kroz otvor na dnu rezervoara, potencijalna se energija tekućine pretvara u kinetičku energiju, pa mora biti:

gdje je v brzina istjecanja tekućine. Iz ovog izraza proizlazi da je visina tekućine, na koju bi se ona popela zbog kinetičke energije:

Ta visina, koja daje tekućini brzinu v, zove se visina brzine i ona je mjerilo za kinetičku energiju tekućine.

Objašnjenje Bernoullijeve jednadžbe Da bi se objasnila Bernoullijeva jednadžba, na lijevu posudu se dodaje vodoravna staklena cijev koja se sužuje i na sebi ima uspravne staklene cijevčice. Začepimo li otvor na kraju cijevi desno i napunimo li posudu vodom do visine h, voda će po zakonu o spojenim posudama stajati svuda jednako visoko do visine h. Kad vodoravnu cijev desno otčepimo, voda će početi istjecati i ona neće u svim cjevčicama stajati jednako visoko, što znači da tlakovi u tekućini koja struji nisu na svim mjestima jednaki. Vidimo da je tlak na kraju cijevi desno jednak nuli, a odavde prema unutrašnjosti jednakomjerno raste, što pokazuje pravac koji spaja vrhove stupaca vode u okomitim cjevčicama. Znači da tlak pada ravnomjerno (proporcionalno) s duljinom cijevi. Pad tlaka je smanjenje tlaka na jedinici duljine cijevi. Prema tome zaključujemo da je strujanje tekućina kroz dugačke cijevi drugačije u pogledu tlaka, a i brzine, nego što to daje Torricellijev zakon istjecanja. Tlak koji tekućina ima u strujanju zove se hidrodinamički tlak.

600px|center

Iz pokusa vidimo da tlak u vodoravnoj cijevi stalno opada, te da je hidrodinamički tlak na svakom mjestu manji od hidrostatskog tlaka koji bi postojao kad mi voda mirovala. Ako je cijev svuda istog presjeka, to po principu kontinuiteta brzina mora biti svuda ista. Ovo je moguće samo stoga što su čestice vode tjerane stalnim tlakom (to jest stalnom silom), jer bi inače trenje postepeno uništilo njihovu kinetičku energiju. Visina h1 stupca vode u strujanju predstavlja visinu otpora, to jest onaj tlak koji je potreban za svladavanje otpora duž cijevi. Visina h2 je visina brzine koja daje tekućini brzinu u strujanju. Odatle vidimo da se hidrostatski tlak h djelomično troši na svladavanje otpora, a preostali dio daje tekućini brzinu. mini|300px|desno|Po zakonu kontinuiteta kroz svaki presjek cijevi mora proći u jedinici vremena ista količina tekućine. Da bismo ustanovili po kojem se zakonu vlada tlak kod tekućine u strujanju, uzet ćemo u razmatranje jednu nagnutu cijev kojoj se presjek prema kraju smanjuje. Budući da po zakonu kontinuiteta kroz svaki presjek mora proći u jedinici vremena ista količina tekućine, to će brzine u raznim presjecima biti različite. Tako će u presjeku I brzina biti v1, u presjeku II brzina v2, a u presjeku III brzina v3. Zanemarimo li trenje (idealna tekućina), u svakoj točki strujnog mlaza mora, po zakonu o održanju energije, ukupna energija ostati uvijek ista. Uzmimo da kroz svaki presjek u jedinici vremena prolazi m kilograma tekućine.

U položaju I energija tekućine sastoji se od 3 dijela: od potencijalne energije, koja iznosi m ∙ g ∙ z1, gdje se visina z1 mjeri od nivoa istjecanja, od tlačne energije p1 ∙ V, od kinetičke energije m ∙ v12 / 2.

Prema tome vrijedi, u položaju I:

u položaju II:

u položaju III:

Kako smo pretpostavili da nema trenja, to po zakonu o održanju energije mora biti:

odnosno općenito vrijedi:

mini|desno|300px|Kondenzacija vidljiva na gornjoj površini krila zrakoplova Airbus A340 uzrokovana padom temperature koja nastaje zbog pada tlaka. To je Bernoullijev zakon strujanja, koji glasi: Zbroj tlačne, potencijalne i kinetičke energije pri stacionarnom strujanju idealne tekućine je konstantna veličina.

Podijelimo li gornju jednadžbu s V, dobivamo:

jer za gustoću tekućine vrijedi:

dobivamo:

a to je Bernoullijeva jednadžba koja se odnosi na jedinicu mase idealne tekućine. Svi članovi u ovom izrazu imaju jedinicu tlaka. Veličina ρ ∙ v2 / 2 zove se hidrodinamički tlak, jer njegova vrijednost ovisi o brzini tekućine.

Podijelimo li gornji izraz s ρ ∙ g dobijemo:

Ovo je oblik Bernoullijeve jednadžbe koji se odnosi na jedinicu težine idealne tekućine. Njeni članovi imaju dimenziju duljine. Naime p / ρ g = h i predstavlja manometarsku visinu, odnosno energiju jedinice težine tekućine. Naime, energija tekućine težine G jest:

Ako je G = 1, onda je energija p / ρ ∙ g. Član z je geodetska visina i predstavlja potencijalnu energiju težine tekućine. Naime, tekućina težine G ima na visini z energiju G ∙ z. Ako je G = 1, onda je potencijalna energija jednaka z. Član v2 / 2 ∙ g je visina brzine, te ima također dimenziju duljine, to jest brojčano daje kinetičku energiju jedinice težine tekućine. Naime, tekućina težine G, to jest mase m = G / g i brzine v ima kinetičku energiju G / g v2 / 2, a tekućina težine G = 1 ima kinetičku energiju v2 / 2 ∙ g.

Prema tome, možemo Bernoullijevu jednadžbu izraziti i ovako: Pri stacionarnom strujanju idealne tekućine je zbroj geodetske visine, manometarske visine i visine brzine u svakoj točki duž strujanja stalna veličina.

Označimo li ukupni tlak u tekućini koja struji s po, možemo napisati i ovako:

Protiče li tekućina kroz vodoravnu cijev, onda je z = 0, pa je:

Iz toga proizlazi da je zbroj hidrostatskog i hidrodinamičkog tlaka idealne tekućine na svim mjestima vodoravnog cjevovoda konstantan. Iz prethodnog izraza proizlazi također važan zaključak koji daje odnos između tlaka p i brzine v u svakom presjeku. Naime, po zakonu kontinuiteta proizlazi da je u većem presjeku neke cijevi brzina malena, a iz Bernoullijeve zakona strujanja izlazi da se u tom slučaju tlak p mora povećati kako bi ukupan tlak po ostao isti. Iz toga se vidi da je kod strujanja tekućine brzina u većem presjeku malena, a tlak velik, dok je u malom presjeku brzina velika, a tlak malen. Sniženje tlaka pare ili plinova kod prolaza kroz uske otvore zove se prigušivanje ili prigušenje. Bernoullijev zakon vrijedi i za plinove. Kod strujanja plinova razlikujemo aerodinamički i aerostatički tlak.

Osnovne i izvedene mjerne jedinice koje se koristi Bernoullijeva jednadžba

ρ = Gustoća - S = presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka ili Ploština - . p = statički tlak - (Pa) v = brzina - (m/s) m = masa tekućine - (kg) R = mehanički rad - (J) V = volumen mase tekućine - Bernoullieva jednadžba koristi SI sustav jedinica.

= geodetska visina odnosno visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku vodoravnu ravninu u = pijezometarska ili tlačna visina odnosno visina pijezometarskog tlaka koju pokazuje visina stupca tekućine u pijezometarskoj cijevi u = brzinska visina u , a brzina predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u slobodnom padu. Ukupan zbroj energija daje Bernoullijevu jednadžbu

Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka i statičkog tlaka tekućina dobije veću brzinu . Masa tekućine m ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju:

a kad uđe u uži dio kinetičku energiju:

Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada R koji je nastao radi razlike tlakova () pri gibanju mase m tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:

R = () ΔS

R= () V, gdje je V volumen mase tekućine.

Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

() V = -

Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća ρ = dobivamo Bernoullijevu jednadžbu:

+ = + = + = konst.

Izrazi , + i + prikazuju tlak koji je nastao zbog strujanja tekućine i zove se dinamički tlak.

Oblik Bernoullijeve jednadžbe za idealnu tekućinu

Osnovne pretpostavke pod kojim vrijedi ova jednadžba su: tekućina je idealna - nestlačiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka Stacionarno strujanje

predstavlja hidrodinamički tlak ili ukupnu specifičnu energiju u .

Izvod Bernoullieve jednadžbe preko zakona održanja količine gibanja

Bernoullijeva jednadžba je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine gibanja.

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod su: fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi, Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.

Izvod Bernoullieve jednadžbe preko Eulerovog integrala

Eulorove diferencijalne jednadžbe kretanja tekućine - implicitni oblik

... ... ...(1E) ... ... ...(2E) ... ... ...(3E) - nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška. Osnovna pretpostavka: imamo stacionarno strujanje matematičke transformacije - (1E) množimo s dx, (2E) množimo s dy, (3E) množimo s dz i sumiramo dobivene jednadžbe.

pa dobijemo jednadžbu:

možemo derivirati

dakle, sada imamo ovaj oblik jednadžbe

ako imamo strujnu cijev u kojoj dijeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sustavu. Možemo pojednostaviti ovako;