mini|desno|290px|Werner Karl Heisenberg formulirao je 1927. načelo neodređenosti.
mini|desno|290px|Ilustrativni prikaz superpozicije nekoliko ravnih valova koji formiraju valni paket. Vidimo da valni paket postaje sve više lokaliziran, dodavanjem novih ravnih valova.
mini|desno|290px|Prvi tragovi uočeni u komori na mjehuriće s tekućim vodikom na Bevatronu.
Heisenbergovo načelo neodređenosti ili Heisenbergove relacije neodređenosti su bilo koja inačica nejednakosti koja govori o fundamentalnom ograničenju spoznaje vrijednosti komplementarnih fizikalnih veličina. Prvo takvo načelo uveo je 1927. njemački fizičar Werner Heisenberg, a formuliran je za fizikalne veličine položaja i količine gibanja: što točnije poznajemo položaj, manje točno možemo poznavati količinu gibanja - i obrnuto. Heisenberg je izvorno svoje relacije izrazio preko matrične mehanike (koju je osmislio kao dvadesetdvogodišnjak, za potrebe kvantne mehanike, 1925. kada se povukao na otok Helgoland da bi izbjegao jake alergijske napade od kojih je patio), to jest preko komutacijskih relacija:
gdje su: i operatori položaja i količine gibanja, a reducirana Planckova konstanta.
Kada se nejednakost izrazi preko standardne devijacije, kao što su to napravili E. H. Kennard i H. Weyl, postaje jasnije da je riječ o organičavanju znanja o položaju x i količini gibanja p:
gdje su: i standardne devijacije položaja i količine gibanja, definirane kao: i
U kvantnoj se teoriji, u literaturi, uobičajeno navode tri relacije za položaj i količinu gibanja:
te četvrta relacija neodređenosti za energiju i vrijeme:
Prema Heisenbergovim relacijama neodređenosti, nemoguće je oboje, položaj i količinu gibanja (na primjer elektrona), odrediti apsolutno točno, čak ni idealnim hipotetičkim pokusom, jer se postupkom mjerenja položaja nužno remeti količina gibanja, i obratno. Prema Heisenbergovim riječima, ne postoji, primjerice, stvarna staza elektrona u komori s mjehurićima, jer je svakim mjehurićem određen "ne posve točno" položaj, a brzina se elektrona određuje iz slijeda mjehurića. Heisenbergovo je stajalište do kraja jasno: elektron postoji neovisno o opažaču, ali se promatranjem na nj utječe onako kako je to formulirano matematičkom shemom relacija neodređenosti. Niti jedan do sada izveden pokus kojim ih se htjelo narušiti ili opovrgnuti nije uspio izbjeći relacije neodređenosti.
Formulacije
Valno-mehanička formulacija
(Ref Online copy.)
Prema de Broglievoj hipotezi, svaka čestica ima ujedno i valna svojstva. Informacije o položaju čestice, u kvantnoj mehanici, dobiva se iz valne funkcije . Vremenski neovisna valna funkcija za jednostavni ravni valnog broja k0 i količine gibanjap0 je
Vjerojatnost nalaženja čestice između a i b je, po Bornovom pravilu, definirana kao
Očito je da je u slučaju ravnoga valna funkcija konstanta, odnosno, čestica može biti bilo gdje, u promatranom prostoru, s jednakom vjerojatnosti. Drugim riječima, položaj čestice je maksimalno neodređen. Ako promatramo valnu funkciju koja je superpozicija više valova (kao na animaciji desno):
gdje A n predstavlja koeficijent, odnosno doprinos vala količine gibanja pn rezultantnom valu. Prijeđemo li sa sume po diskretnim valovima na kontinuirani slučaj, rezultantna valna funkcija bit će integral preko svih mogućih valova
gdje predstavlja amplitudu koja je Fourierov transform od . S ovom funkcijom, pozicija je postala preciznije definirana, ali je sada količina gibanja slabije definirana pošto je rezultantni val superpozicija valova s raznim količinama gibanja. Točnije, smanjili smo standardnu devijaciju pozicije σx na račun povećavanja standardne devijacije količine gibanja σp.
Stoga, ako povećamo σx, smanjit će se σp i obrnuto. Zaključujemo da je odnos σx i σp obrnuto proporcionalan, što je upravo ono što govore Heisenbergove relacije neodređenosti. Može se pokazati da umnožak σx i σp daje upravo vrijednost .
Matrična formulacija (Ref)
U matričnoj mehanici, izvornom načinu na kojem je Heisenberg došao do svojih relacija, opservable poput položaja i količine gibanja samoadjungirani operatori. Za početak, definirajmo komutacijske relacije između dva operatora kao
U slučaju operatora položaja i količine gibanja, imamo
Neka je vlastita funkcija operatora položaja s konstantnom vlastitom vrijednosti x0, što per definitionem znači da je . Primijenimo spomenuti komutator na i dobit ćemo:
gdje je Î operator identiteta.
Pretpostavimo, radi reductio ad absurdum, da je ujedno i vlastita funkcija operatora količine gibanja, s vlastitom vrijednosti p0; tada bismo imali
Međutim, takav rezultat je upravo u kontradikciji s Heisenbergovim relacijama neodređenosti koje zahtijevaju
Što implicira da kvantna stanja ne mogu biti istovremeno vlastita funkcija položaja i količine gibanja. Drugim riječima: mjerenjem položaja, količina gibanja će biti neodređena, i obrnuto.
Važne relacije neodređenosti
Osim spomenutih relacija neodređenosti između položaja i količine gibanja, u kvantnoj mehanici često se koriste i relacije neodređenosti za: komponente kutne količine gibanja, komponente spina čestice i relacije između energije i vremena.
Za kutnu količinu gibanja vrijedi
Gdje je Levi-Civita simbol. Što znači da nije moguće istovremeno poznavati vrijednosti dviju komponenta kutne količine gibanja.
Za komponente spina vrijedne analogne relacije kao kod kutne količine gibanja, odnosno
Što znači da nije moguće istovremeno poznavati vrijednosti dviju komponenta spina.
Pošto vrijeme u nerelativističkoj kvantnoj mehanici nije opservabla, umjesto vremena koristi se životni vijek stanja u odnosu na opservablu B, pa relacije imaju oblik
gdje je σE standardna devijacija Hamiltonijana (operatora energije) u stanju , a σB standardna devijacija nekog operatora B., gdje je
Heisenbergov mikroskop
Relacije neodređenosti izmeđ položaj i brzinu neke čestice možemo predočiti slikovitim teorijskim primjerom Heisenbergova mikroskopa:
Da bismo promatranjem odredili položaj nekog tijela, moramo ga osvijetliti i primiti svjetlost koja se od njega reflektira. Međutim, zbog ogiba svjetlosti položaj tijela možemo odrediti najpreciznije na valnu duljinu svjetlosti pa tako možemo pisati da je neodređenost položaja tijela jednaka valnoj duljini svjetlosti (Δx≈λ). Smanjenjem valne duljine korištene svjetlosti možemo sve preciznije odrediti položaj tražene čestice, ali u tom slučaju povećavamo energiju zračenja (E=hf=hc/λ), odnosno čestična svojstva svjetlosti (elektromagnetskog vala) čiji foton u tom slučaju ima veću količinu gibanja (p=h/λ) pa tako u "sudaru" s promatranom česticom više mijenja njenu količinu gibanja (u odnosu na početnu) tako da je i nju nemoguće sasvim točno odrediti. Povećanjem čestičnih svojstava svjetlosti kojom osvjetljavamo (smanjenje valne duljine) gubi se na preciznosti mjerenja brzine (količine gibanja), a povećanjem valnih (povećanje valne duljine) gubi se na preciznosti određivanja položaja.
Ovo nije posljedica nesavršenosti mjernih instrumenata, nego je kvantno svojstvo samog promatranog sustava i nemoguće ga je izbjeći i uporabom savršenih mjernih instrumenata. Što preciznije mjerimo položaj, manje precizno mjerimo brzinu i obrnuto. Ovo svojstvo otkrio je 1927. godine njemački fizičar Werner Heisenberg a obično se formulira ovako:
Δp·Δx≥ħ/2
gdje je Δp neodređenost količine gibanja, Δx neodređenost položaja, a ħ je reducirana Planckova konstanta (ħ=h/2π) h=6,626·10−34 Js
ili drukčije formulirano:
ΔE·Δt≥ħ/2
gdje je ΔE neodređenost energije, a Δt neodređenost mjerenja vremenskog intervala.
Ove relacije vrijede i u makrosvijetu (svijetu klasične mehanike), ali tamo su neprimjetljive jer je neodređenost položaja zanemariva u odnosu na dimenzije tijela, a neodređenost količine gibanja u odnosu na ukupnu količinu gibanja tijela.
Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 20. stoljeća (najpoznatije od Alberta Einsteina) jer je utjelovljenje kontrarnosti determinističkim principima dotadašnje fizike, otpočelo je eru probabilističkog pristupa kvantnoj fizici i postavilo bitnu granicu preciznosti eksperimenta.
Primjeri
Čestica u kutiji
Najjednostavniji kvantnomehanički sustav je primjer slobodne čestice u kutiji. Takva čestica se može gibati samo u jednoj dimenziji (lijevo-desno) i ograničena je u beskonačoj potencijalnoj jami (zidovi označavaju barijere u kojima je potencijalna energija beskonačna), dok je potencijalna energija unutar kutije jednaka nuli. Stoga, čestica ima samo kinetičku energiju:
Rješavanjem Schrödingerove jednadžbe za takvu česticu, lako je naći da vlastite funkcije u koordinatnoj i impulsnoj reprezentaciji definirana kao
i ,
gdje je . Varijanca (koja je korijen standardne devijacije) pozicije i količine gibanja računa se:
.
Vidimo da je umnožak standardnih devijacija:
S obzirom na to da je najmanja moguća vrijednost vrijable upravo , nalazimo da je najmanji mogući umnožak standardnih devijacija količine gibanja i pozicije jednak
.
S time pokazujemo da Heisenbergove relacije neodređenosti vrijede za česticu u kutiji. Do današnjeg dana nije pronađeno niti jedno odstupanje od Heisenbergovih relacija neodređenosti.
Kvantni harmonički oscilator
Jednodimenzionalni kvantni harmonički oscilator je kvantnomehanička varijantna klasičnoga harmoničkoga oscilatora. U tom slučaju, operatore količine gibanja i pozicije moguće je izraziti preko operatora podizanja i spuštanja:
.
Pozivajući se na svojstva tih operatora,
,
trivijalno je odrediti varijancu,
Iz toga slijedi da je produkt standardnih devijacija količine gibanja i pozicije:
Što, kao što vidimo, zadovoljava Heisenbergove relacije neodređenosti.
Von Neumannov izvod Heisenbergovih relacija
Neka je:
Hilbertov prostor,zajedno sa skalarnim produktom i normom , te sa kao operatorom identiteta u ; i samoadjungirani operatori u i , gdje je ; Te s normom .
Tada Heisenbergove relacije možemo izvesti u četiri koraka:
Korak 1:
Neka je
Stoga:
Što znači:
Pa iz Cauchy-Schwarzove nejednakosti slijedi:
Korak 2:
Neka su dva prozivoljna skalara, te definirajmo i . Stoga, općenito možemo zaključiti da vrijedi:
Korak 3:
Kao rezultat drugoga koraka, uz , i , imamo:
Korak 4:
Za slučaj kada je , dobivamo rezultat važan za kvantnu mehaniku, odnosno Heisenbergove relacije neodređenosti:
Interpretacija relacija neodređenosti
Interpretacija relacija neodređenosti bila je jedna od glavnih točaka prijepora između Bohra i Einsteina, naročito na petoj Solvayavoj konferenciji. Po Kopenhagenskoj kvantnoj mehanici, ako dvije fizikalne veličine ne komutiraju, one nemaju istovremenu fizikalnu realnost. Što znači da ako poznajemo poziciju, količina gibanja nema realnost (tj. ne postoji). Također, ako čestici poznajemo komponentu spina u x-smjeru, to znači da čestica nema ostale komponente spina. From Albert Einstein: Philosopher-Scientist (1949), publ. Cambridge University Press, 1949. Niels Bohr's report of conversations with Einstein. S druge strane, Einstein je to vidio kao naznaku nepotpunosti teorije, a ne kao znak da neke fizikalne veličine ne postoje ako znamo njihove konjugirane parove.Paul Arthur Schilpp. Albert Einstein: Philosopher Scientist, Tudor Publishing Company (1951), str. 672.
Odnosi neodređenosti mini|desno|300px| Ogib ili difrakcija elektrona je pokazala da se elektroni ponašaju i kao čestice i kao valovi (dualizam).
mini|desno|300px|Fotoelektrični učinak: fotoni padaju na metalnu ploču i iz nje izbijaju elektrone.
mini|desno|300px|Prikaz ogiba kada je otvor na zapreci jednak valnoj duljini vala.
mini|desno|300px|Prikaz ogiba kada je otvor na zapreci 5 puta veći od valne duljine vala.
mini|300px|desno|Ogib na pukotini.F. Dorn, F. Bader: Physik-Oberstufe. Schroedel, Hannover 1986, .
mini|300px|desno|Comptonov učinak: foton valne duljine koji dolazi s lijeve strane, sudara se sa slobodnim elektronom, pa se zatim stvara novi foton valne duljine koji se raspršuje pod kutem .