350px|thumb|right|Sinusi i kosinusi u jediničnoj kružnici
Trigonometrijske jednakosti pokazuju poveznice između pojedinih trigonometrijskih funkcija. Ti izrazi su istiniti za svaku odabranu vrijednost određene varijable (kuta ili nekog drugog broja). Kako su trigonometrijske funkcije međusobno povezane pomoću vrijednosti jedne, moguće je izraziti neku drugu funkciju. Jednakosti se koriste za pojednostavljenje izraza koji uključuju trigonometrijske funkcije.
Nazivlje Kutovi
Nazivi kutova se daju prema slovima grčkog alfabeta kao što su alfa (α), beta (β), gama (γ), delta (δ) i theta (θ). Mjerne jedinice za mjerenje kutova su stupnjevi, radijani i gradi: 1 puni krug = 360 stupnjeva = 2 radijana = 400 gradi. Sljedeća tablica prikazuje pretvorbu mjernih jedinica za određene veličine kutova: Stupnjevi 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330° Radijani Gradi 33⅓ 66⅔ 133⅓ 166⅔ 233⅓ 266⅔ 333⅓ 366⅔ Stupnjevi 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° Radijani Gradi 50 100 150 200 250 300 350 400 Kutovi se u trigonometriji najčešće izražavaju u radijanima i to bez mjerne jedinice, stupnjevi s oznakom ° se manje koriste, a gradi izrazito rijetko.
Trigonometrijske funkcije
Primarne trigonometrijske funkcije su sinus i kosinus kuta. Sinus se označava sa sinθ, a kosinus s cosθ pri čemu je θ naziv kuta.
Tangens (tg, tan) kuta je omjer sinusa i kosinusa:
S druge strane, imamo i recipročne funkcije pri čemu je kosinusu recipročan sekans (sec), sinusu kosekans(csc, cosec), a tangensu kotangens (ctg, cot):
Inverzne funkcije
Inverzne trigonometrijske funkcije ili arkus funkcije su inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama. Prema tome imamo, arkus sinus (arcsin, asin) je inverzna funkcija sinusnoj funkciji, pri čemu vrijedi da je
i
U sljedećoj tablici su prikazane i druge komplementarne inverzne funkcije i kratice: Trigonometrijska funkcija Sinus Kosinus Tangens Sekans Kosekans Kotangens Kratica Inverzna trigonometrijska funkcija Arkus sinus Arkus kosinus Arkus tangens Arkus sekans Arkus kosekans Arkus kotangens Kratica
Pitagorina trigonometrijska jednakost Pitagorina trigonometrijska jednakost ili temeljni identitet trigonometrije je jedna od osnovnih trigonometrijskih jednakosti i prikazuje odnos između sinusa i kosinusa:
gdje cos2 θ znači (cos(θ))2 i sin2 θ znači (sin(θ))2.
Izraz je u biti izvedenica Pitagorinog poučka i proizilazi iz jednakosti koja vrijedi za jediničnu kružnicu. Ova jednadžba može biti riješena za sinus i za kosinus:
Povezane jednakosti Podijelivši Pitagorinu jednakost s cos2 θ ili sa sin2 θ dobivamo sljedeće dvije jednakosti:
Koristeći navedene jednakosti te omjere koji su korišteni pri definiranju trigonometrijskih funkcija, mogu se izvesti trigonometrijske jednakosti gdje je jedna trigonometrijska funkcija prikazana pomoću druge:
<center> {| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center" |+ Svaka trigonometrijska funkcija prikazana pomoću druge trigonometrijske funkcijeAbramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45 ! in terms of ! scope="col" | ! scope="col" | ! scope="col" | ! scope="col" | ! scope="col" | ! scope="col" | |- !
!
!
!
!
!
Ostale funkcije korištene u prošlosti
Pojedine trigonometrijske fukcije više nisu u uporabi. Versinus, koversinus, haversinus i eksekans su se koristile pri navigaciji, a haversinusna formula se koristila za računanje udaljenosti dviju točaka na sferi.
Ime Kratica VrijednostAbramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147 Versinus Verkosinus Koversinus Koverkosinus Haversinus Haverkosinus Hakoversinus Hakoverkosinus Eksekans Ekskosekans Tetiva
Simetrija, pomak i periodičnost Proučavajući jediničnu kružnicu mogu se uvidjeti pojedina svojstva trigonometrijske kružnice kao što su simetrija, razni pomaci i periodičnost funkcija. Formule u sljedeće dvije tablice se često nazivaju formule redukcije.
Simetrija Kada neku trigonometrijsku funkciju odbijemo za određeni kut (npr. π,π/2) rezultat često bude neka druga trigonometrijska funkcija.
Odbitak za Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15 Odbitak za Odbitak za
Pomaci i periodičnost Pomicanjem funkcije za određeni kut također se kao rezultat dobije neka druga trigonometrijska funkcija koja rezultat prikaže jednostavnije. To možemo vidjeti u primjerima pomaka za π/2, π i 2π radijana. S obzirom na to da su trigonomterijeske funkcije periodične, ovisno o funkciji za π (tangens i kotangens funkcija) ili 2π (sinus i kosinus funkcija), tada nova funkcija poprima istu vrijednost.
Pomak za π/2 Pomak za π Period for tan and cotAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9Pomak za 2π Period for sin, cos, csc and secAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8
Zbroj i razlika kutova Ove trigonometrijske jednakosti se nazivaju adicijske formule. Otkrio ih je prezijski matematičar Abū al-Wafā' Būzjānī u 10. stoljeću. Eulerova formula može pomoći pri dokazivanju ovih jednakosti.
Sinus Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16 Kosinus Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17 Tangens Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18 Arkus sinus Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42 Arkus kosinus Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43 Arkus tangens Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36
Matrični oblik
Trigonometrijske formule zbroja i razlike za sinus i kosinus mogu biti zapisani u obliku matrice.
Sinus i kosinus zbroja beskonačno mnogo veličina
Tangens zbroja konačno mnogo veličina Neka je (za k ∈ {0, ..., n}) k-ti stupanj osnovnog simetričnog polinoma pri čemu je
za i ∈ {0, ..., n} pa slijedi
Tada vrijedi da je
u ovisnosti o broju n.
Na primjer:
i tako dalje. Navedena jednakost se može dokazati matematičkom indukcijom.
Sekans i kosekans zbroja konačno mnogo veličina
gdje je k-ti stupanj osnovnog simetričnog polinoma za n varijabla xi = tan θi, i = 1, ..., n, a broj veličina u nazivniku ovisi o n.
Na primjer,
Jednakosti za višestruke kutove Tn je n-ti Čebiševljev polinom Sn je n-ti polinom širine De Moivreova formula, je imaginarna jedinica Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48
Trigonomterijske jednakosti dvostrukih, trostrukih i polovičnih kutova
Formule dvostrukog kutaAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26 Formule trostrukog kuta Formule polovičnog kutaAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
Sinus, kosinus i tangens višestrukih kutova
Čebiševljeva metoda
Čebiševljeva metoda je rekurzivni algoritam za nalaženje formula n-tih višestrukih kutova poznavajući (n − 1)-te i (n − 2)-te formule.Ken Ward's Mathematics Pages, http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm
gdje je H/K = tan(n − 1)x.
Tangens prosjeka
Ako su α ili β jednaki 0 tada dobivamo formulu za tangens polovičnog kuta.
Vièteov beskonačni produkt
Jednakosti potenciranih trigonometrijskih funkcija
SinusKosinusDruge
Za izvode potencija sinus i kosinusa kuta se koriste De Moivreova formula, Eulerov poučak i binomni poučak.
KosinusSinus
Formule pretvorbi umnoška u zbroj i zbroja u umnožak
Umnožak u zbrojAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33 Zbroj u umnožakAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39
Druge povezane jednakosti Ako su x, y i z bilo kojeg trokuta, tada vrijedi
odnosno
Hermiteova kotangensova jednakost
Charles Hermite je pokazao da vrijedi određena jednakostWarren P. Johnson, "Trigonometric Identities à la Hermite", American Mathematical Monthly, volume 117, number 4, April 2010, pages 311–327 gdje su varijable a1, ..., an kompleksni brojevi. Neka je
te u slučaju kada je A1,1, dobiva se prazan produkt, koji je jednak 1. Općenito se dobiva sljedeća vrijednost:
U najjednostavnijem slučaju za n = 2 vrijedi:
Ptolemejev teorem
Ove jednakosti predstavljaju trigonometrijski oblik ptolomejevog teorema.
Linearne kombinacije
Bilo koja linearna kombinacija sinusnih valova istih perioda ili frekvencija s različitim faznim pomacima je također sinusni val s istom periodom ili frekvencijom s različitim faznim pomakom. Kod nenulte linearne kombinacije sinusnog i kosinusnog vala ,Proof at http://pages.pacificcoast.net/~cazelais/252/lc-trig.pdf se dobiva
gdje je
što je ekvivalentno s
ili čak s
Općenito za proizvoljan fazni pomak vrijedi
gdje je
i
Lagrangeove trigonometrijske jednakosti Ove jednakosti su ime dobili po Josephu Louisu Lagrangeu.
S njima je povezana funkcija koja se naziva Dirichletova jezgra.
Ostali oblici zbrojeva trigonometrijskih funkcija Zbroj sinusa i kosinusa s varijablama u aritmetičkom nizu Michael P. Knapp, Sines and Cosines of Angles in Arithmetic Progression :
Za bilo koji a i b vrijedi:
gdje je atan2(y, x) poopćenje funkcije arctan(y/x) koja pokriva cijeli kružni opseg.
Koristeći Gudermannovu funkciju koja povezuje cirkularne i hiperbolne trigonometrijske funkcije bez korištenja kompleksnih brojeva može se iskoristiti sljedeći izraz:
Ako su x, y i z ako su kutovi bilo kojeg trokuta odnosno x + y + z = π, tada je
Određene linearne frakcionalne transformacije
Ako je ƒ(x) dan linearnom frakcionalnom transformacijom
i slično tome
tada vrijedi
Kraće rečeno, ako je za sve α funkcija ƒα baš ta gore prikazana funkcija ƒ tada vrijedi da je
Jednakosti inverznih trigonometrijskih funkcija
Kompozicija trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija
Povezanost s kompleksnom eksponencijalnom funkcijom
Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47 Ovaj se izraz naziva Eulerova formula,
Ovaj se izraz naziva Eulerov identitet,
Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2
Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.1
odnosno
gdje je .
Povezanost s beskonačnim produktima
Pri rješavanju specijalnih funkcija, različite koristimo formule koje povezuju beskonačni produkt i trigonometrijske funkcije:Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69
Jednakosti bez varijabli Jednakost bez varijabli
je poseban slučaj jednakosti s jednom varijablom:
Nadalje, također vrijedi da je
Mnogo jednakosti ima osnovu u izrazima kao što suWeisstein, Eric W., "Sine" from MathWorld:
i
Njihovom kombinacijom dobivamo:
Ako je n neparan broj(n = 2m + 1) korištenjem simetrije dobivamo
Određivanje broja π
Mnemonički zapis za neke vrijednosti sinusa i kosinusa
Zlatni rez φ
Euklidova jednakost
Infinitezimalni račun Derivacije
Koristeći infinitezimalni račun, kutovi pri računanju moraju biti u radijanima. Derivacije trigonometrijskih funkcija mogu se odrediti pomoću dva limesa:
Deriviranjem trigonometrijskih funkcija dobivaju se sljedeće jednakosti i pravila:Abramowitz and Stegun, p. 77, 4.3.105–110Abramowitz and Stegun, p. 82, 4.4.52–57
Integrali
Eksponencijalne definicije trigonometrijskih funkcija FunkcijaInverzna funkcijaAbramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31
Weierstrassova supstitucija
Ako je
tada vrijediAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.23
gdje je eix = cos(x) + i sin(x), što ponekad skraćeno pišemo kao cis(x).
Vidi još
Trigonometrija Dokazi trigonometrijskih jednakosti Pitagorina trigonometrijska jednakost Jedinična kružnica Trigonometrijske konstante Primjena trigonometrije Formula tangensa polovičnih kutova Pitagorin poučak Kosinusni poučak Sinusni poučak Tangensni poučak Mollweideova formula Popis derivacija trigonometrijskih funkcija Popis integrala trigonometrijskih funkcija Hiperbolna funkcija Versinus
Bilješke
Izvori
Vanjske poveznice Values of Sin and Cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5⅝°, Csc and Sec, Tan.
Kategorija:Trigonometrija Kategorija:Matematički popisi