A Legendre-polinomok a Legendre-differenciálegyenlet partikuláris megoldásai. Speciális valós vagy komplex polinomok, amik ortogonális függvényrendszert alkotnak. Fontos szerepet játszanak az elméleti fizikában, különösen a kvantummechanikában és az elektrodinamikában. Adrien-Marie Legendre francia matematikus után kapták nevüket.
Származtatás Ortogonális polinomok konstrukciója Adva legyen az [a,b] intervallum, és egy rajta értelmezett súlyfüggvény. A valós polinomsorozat ortogonális, ha teljesíti az
ortogonalitási relációt minden -re.
Az intervallum a súlyfüggvénnyel ugyanazokat az ortogonális polinomokat adja, mint amiket a Gram-Schmidt ortogonalizáló eljárás iteratív alkalmazása a monomokra, ha még az is teljesül, hogy .
Legendre-differenciálegyenlet A Legendre-polinomok a Legendre-differenciálegyenlet megoldásai:
amelynek ekvivalens alakja
A differenciálegyenlet megoldásának általános alakja
ahol jelöli a Legendre-polinomokat, más néven az elsőfajú Legendre-függvényeket, és a másodfajú Legendre-függvényeket, amelyek nem polinomok.
Jellemzés Az -edik Legendre-polinom racionális együtthatós -edfokú polinom. A Legendre-polinomok többféleképpen is számíthatók, és rekurzívan is előállíthatók.
Minden gyökük valós, és az I = [ − 1,1] intervallumban van. Pn(x) két gyöke között van egy gyöke Pn+1(x)-nek.
Továbbá
Teljes ortogonális rendszer A Legendre-polinomok teljes ortogonális rendszert alkotnak a skalárszorzattal ellátott Hilbert-téren.
Az ortogonalitás azt jelenti, hogy minden -re.
, ahol a Kronecker-deltát jelöli.
A teljesség azt jelenti, hogy minden függvény végtelen sorba fejthető a Legendre-polinomok szerint:
a együtthatókkal.
A fizikában és a technikai irodalomban sokszor disztribúciós értelemben tekintik a teljességet:
ahol a Dirac-deltát jelöli.
Előállítás Generátorfüggvény Minden , , -re
Itt a jobb oldali hatványsor konvergenciasugara 1.
Mindezek miatt a függvényt a Legendre-polinomok generátorfüggvénye. Rodrigues-formula
Egy alternatív képlet
Előállítás integrálként Minden -re
Rekurziók A Legendre-polinomokra teljesülnek a következő rekurziók:
Az első rekurzió n'=n+1 helyettesítéssel a következő alakba megy át:
Differenciálással
, illetve
Így adódik az a rekurzió, amely magába foglalja a Legendre-polinomok deriváltjait is:
A kezdeti feltételek és .
-re ismét a fenti képlet adódik kezdeti feltételekkel együtt.
Aszimptotikus formulák
A generátorfüggvény szingularitás analíziséből a következő aszimptotikus formulákhoz juthatunk:
amint , rögzített számra.
Az első Legendre-polinomok thumb|upright=1.5|Az első néhány Legendre-polinom Az első néhány Legendre-polinom:
Másodfajú Legendre-függvények A Legendre-polinomok rekurziós képletei a másodfajú Legendre-függvényekre is teljesülnek. Így az első Legendre-függvényből kiindulva
Források Abramowitz, M. ; Stegun, I. A. eds. (1972) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover. (V. cap. 8 e cap. 22.) Byerly, WE (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics (cap. I e cap. V) Todhunter, I. (1875) An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions. MacMillan (v. pp. 7-117) Heine, E. (1878) Handbuch der Kugelfunctionen, Theorie und Anwendungen (primera parte). Reimer. Heine, E. (1881) Handbuch der Kugelfunctionen Theorie und Anwendungen (seconda parte). Reimer. I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik - Table of Integrals, Series and Products, Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (eds.), Academic Press, . Rogai, E. - Tabele şi formule matematice, Editura Tehnică, Bukarest, 1984
Kategória:Analitikus függvények