A katenoid egy felület a 3 dimenziós euklideszi térben, ami a láncgörbének a saját vezéregyenese körüli elforgatásával jön létre. A síkot nem számítva, ez az elsőként felfedezett minimálfelület. Minimálfelület voltát Leonhard Euler állapította meg és igazolta 1744-ben.L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24 Jean Baptiste Meusnier publikációja ugyancsak az e témával foglalkozó korai munkák közé tartozik.Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785 Csak két minimál-forgásfelület (forgásfelület, ami egyben minimálfelület is) létezik: a sík és a katenoid.
A katenoid a klasszikus Descartes-féle koordináta-rendszerben az alábbi paraméteres egyenletekkel definiálható:
ahol u és v valós paraméterek, c egy nem nulla értékű valós állandó.
Hengerkoordináta-rendszerben:
ahol c egy valós állandó.
A katenoid fizikai modellje létrehozható úgy, hogy két kör alakú drótot szorosan egymás mellett szappanos oldatba mártunk, majd onnan kiemelve lassan távolítani kezdjük egymástól őket.
Csavarfelület transzformációjaként
Mivel mind a katenoid, mind pedig a csavarfelület elemei az úgynevezett Bonnet családnak, így egy katenoid „hajlítással” átvihető egy rész-csavarfelületbe, nyújtás nélkül. Vagyis létezik olyan (majdnem) folytonos és egybevágósági transzformációja bármely kateonidnak egy rész-csavarfelületre, amelynek deformációs családjának bármely eleme minimálfelület (vagyis az átlagos görbülete zérus). Egy ilyen leképezés egy lehetséges paraméterezése a következő:
bármely -re, a deformációs paraméter ,
ahol egy jobbcsavaros csavarfelületnek felel meg, a kateonidnak felel meg, pedig egy balcsavaros csavarfelületnek felel meg.
Fordítás
Jegyzetek
Külső hivatkozások Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Catenoid", Encyclopedia of Mathematics, Springer, "Caténoïde" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables Animated 3D WebGL model of a catenoid
Kategória:Geometria