A közrefogási elv (gyakoribb nevén „rendőrelv”Az elnevezés tréfás magyarázata, hogy ha két rendőrsorozat közrefog egy gyanúsított sorozatot, akkor utóbbi is oda tart, ahová az első kettő.) egy matematikai analízissel kapcsolatos fogalom.
A tétel fontos szerepet tölt be az analízisben, illetve az analízissel foglalkozó bizonyításokban. Általában arra használják, hogy egy függvény határértékét meghatározzák vagy bizonyítsák más függvényekkel való összehasonlítással (amelyek határértéke könnyebben kiszámítható, mint az eredeti függvényé). A legelső felhasználása Arkhimédészhez és Eudoxoszhoz kapcsolódik, akik a pí értékének meghatározásához használták a tételt. Modern formájába Gauss öntötte.
A tétel megfogalmazható sorozatok határértékére vonatkozóan és általánosabban függvények tetszőleges pontjában vett határértékére vonatkozóan.
Tétel sorozatok határértékére Tétel Tegyük fel, hogy az és valós sorozatokra teljesülnek a következők:
létezik olyan , hogy minden indexre az és a sorozatoknak van határértéke és .
Ekkor a sorozatnak is van határértéke és .
Bizonyítás nullsorozat.
majdnem minden -re.
Mivel nullsorozat, is nullsorozat, konvergens sorozatok, így
Tétel függvények határértékére Tétel Legyen I egy intervallum, legyen a az I egy torlódási pontja (vagyis belső pont, vagy az intervallum "szélső", nem feltétlenül az intervallum elemét alkotó pont). Legyenek az f, g és h az I intervallumon definiált függvények, esetleg kivéve az a pontot. Az előbbi függvényekre álljon fenn, hogy I bármely a-tól különböző x pontjában:
Ekkor, ha adott hogy:
akkor
A függvények g és h úgynevezett felső és alsó korlátját adják f-nek. A pontnak a-nak nem muszáj az I intervallum belső pontjának lennie, lehet akár az intervallum végpontja is, de ekkor a határérték a megfelelő féloldali határértékre változik. Hasonló állítást tehetünk végtelen intervallumokra is pl.: ha I = ]0; ∞[, ekkor a tétel továbbra is igaz amint x → ∞.
Bizonyítás A fenti tételt a limit inferior és szuperior segítségével bizonyítjuk. Ezek tulajdonságait és a kiindulási feltételeket felhasználva igaz, hogy:
Ez azonban a valós számok rendezési tulajdonságaiból következően(trichotómia) csak egyenlőség esetén igaz.
Egy másik bizonyítás amely a határérték (ε, δ) definícióját használja fel, megmutatja, hogy bármely valós ε > 0 -hoz létezik egy valós δ > 0 úgy, hogy minden x-re, amelyre teljesül, hogy 0 < |x − a | < δ, teljesül, hogy −ε < f(x) − L < ε. Jelekkel:
.
Vagyis ha
azt jelenti, hogy:
és
azt jelenti, hogy:
és adott, hogy:
akkor választhatunk úgy egy -t hogy és ; pld.:, legyen . Ekkor ha adott, hogy , akkor (1)-ből és (2)-ből következik, hogy:
,
ami bizonyítja a tételt.
Példák az alkalmazásra
Első példa
thumb|right|250px|Az x2 sin(1/x) közrefogása, és "beszorítása" a 0 pont környezetében.
A
határérték nem határozható meg szorzat határértékére vonatkozó tétel segítségével, vagyis a
szabállyal, mert a
határérték nem létezik.
Viszont a szinuszfüggvény értékkészletéből,
következik, hogy:
Mivel , így a közrefogási elv alapján, szintén 0.
Második példa
Valószínűleg a legismertebb példa a következő:
Az első állítás a tételt és a következő azonosságot alkalmazva kapható meg:
kellően kicsiny x-ekre, de x nem lehet 0.
A fenti két határérték a trigonometrikus függvények deriváltjának meghatározásakor is felhasználható.
Fordítás
Források Szili László: Analízis feladatokban I. (ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2005)
Jegyzetek
Külső hivatkozások Squeeze Theorem by Bruce Atwood (Beloit College) after work by, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), the Wolfram Demonstrations Project.
Ko~zrefogas