A Fourier-sorok vizsgálata nagyban hozzájárult az analízis fejlődéséhez. W. R. Wade amerikai professzor egy magyar nyelven megjelent nyilatkozatában a következőt mondta a Fourier-analízissel kapcsolatban: „A klasszikus harmonikus analízis, a Fourier-analízis gyökerei mélyre nyúlnak. Mondhatnám, Isten volt az első, aki Fourier-analízist művelt, amikor fülünkbe beépített egy Fourier-analizátort. Ugyanis már a gyermek is képes arra, hogy különbséget tegyen például a hegedű és a harsona hangja között. Annak ellenére, hogy a hangjegyek, amelyekkel a dallamot leírjuk, ugyanazok. Mi akkor a különbség a két hang között? Az, hogy amikor megszólaltatunk egy hangot, az sosem csupán tiszta hang, hanem több felhangból álló együttes. Kissé általánosabban fogalmazva: minden függvényben, ami egy hangzásnak megfelel, sok rejtett információ van, amit észlelni kell, s fülünk észlelni is tudja.”(Hit, zene, matematika. Interjú W. R. Wade professzorral. Természet Világa 11 (114), 1986).
A kezdetek Már a differenciál- és integrálszámítás XVII. századi kialakulásában is döntő szerepet játszottak bizonyos fizikai problémák. A fizika kulcsszerepe az analízis további fejlődésében is megmaradt. A XVIII. században és a XIX. század elején a fizika több olyan problémát is felvetett, amelyek elősegítették új matematikai elméletek megalkotását. A Fourier-sorok elméletének kialakulásában is két fizikai probléma játszott főszerepet: a rezgő húr problémája, és a hővezetés egyenlete.
A rezgő húr problémája A 18. században vita folyt az akkori kor három vezető matematikusa d'Alembert, Bernoulli és Euler között egy mechanikai probléma, a két végpontjában rögzített, kifeszített rugalmas húr rezgésének matematikai leírásáról. Meg is született a probléma egy mai szemmel nézve is korrekt megoldása, de ez nem vált széles körben elfogadottá.
Tegyük fel, hogy a számegyenes 0 és L pontjai között ki van feszítve egy húr. A kérdés az, hogyan írhatjuk le a rezgésbe hozott húr mozgását. Taylor már 1715-ben felfedezte azt a mozgásegyenletet, amelyet a húrnak ki kell elégítenie. Feltesszük, hogy a húr minden részecskéje csak kicsiny függőleges irányú elmozdulást végez. Newton törvénye szerint egy részecske gyorsulása arányos a rá ható erővel. A részecskére ható erő onnan származik, hogy a húr "ki akar egyenesedni", ezért a görbületével arányos erőt fejt ki a részecskére. A húr görbülete az érintő meredekségének változása, vagyis a húr alakját megadó függvény második deriváltja. A húr mozgását függvény írja le abban az értelemben, hogy a t időpontban a húr alakját az (ahol x eleme a [0,L] intervallumnak) függvény grafikonja adja meg. Ekkor (x,0) pont fölötti részecske gyorsulása , míg a húr görbülete . Így a fenti gondolatmenet szerint ahol ρ≠0 konstans.
Mivel a húr végpontjai rögzítve vannak, ezért minden t-re. Feltehetjük, hogy c nem azonosan 0. Így . Rögzítsünk egy olyan t-t,amelyre c(t)≠0. Ekkor a fent leírtak alapján f kielégíti az differenciálegyenletet, minden x∈[0,L]-re, ahol . Ha b=0, akkor f lineáris, tehát a kezdeti feltétel alapján f azonosan 0. Ezt az esetet (ami annak felel meg, hogy a húr nyugalomban van) tehát kizárhatjuk. Ha b>0,b=a2, akkor az egyenletet kielégítő f függvény a következő alakba írható:. Ez a megoldás a kezdeti feltételt csak az esetben elégíti ki, tehát szintén kizárhatjuk. Így szükségképpen b<0,b=-a2. Ekkor az egyenletet kielégítő f függvény a következő alakba írható: Mivel f(0)=0, ezért , tehát f(L)=0 alapján . Azt kaptuk tehát, hogy ha a húr mozgását egy alakú kifejezés írja le, akkor és c(t) kielégíti a differenciálegyenletet. Taylor felvetette,hogy alakú megoldások a megszólaló hang n-edik felhangjának felelnek meg (vagyis n=1 esetén az alaphangnak, n=2 esetén az oktávnak stb.).
1747-ben d'Alembert felfedezte,hogy ha φ egy 2L szerint periodikus függvény, akkor a φ(at+x)-φ(at-x) függvény az x=0 és x=L pontokban nulla, továbbá szintén kielégíti a Taylor által megadott mozgásegyenletet abban az értelemben, hogy a t szerinti második deriváltja egyenlő az x szerinti második derivált konstansszorosával. Ebből d'Alembert arra következtetett, hogy φ(at+x)-φ(at-x) kifejezések írják le a rezgő húr mozgását, ahol φ tetszőleges 2L szerint periodikus függvény.
1753-ban Daniel Bernoulli Taylor gondolatmenetét folytatva, valamint abból a fizikai tényből kiindulva, hogy tetszőleges hang a felhangjaiból tevődik össze, amellett érvelt, hogy a rezgő húr mozgását a alakú kifejezések írják le alkalmas együtthatófüggvényekkel. Ezt az állítást azonban d'Alembert nem fogadta el, mondván, hogy ebből az ő megoldása alapján az következne, hogy minden periodikus függvényt előállíthatnánk trigonometrikus összegként, ami nyilván lehetetlen. A vitába a kor számos matematikusa (így Euler és Lagrange) is bekapcsolódott.
A hővezetés egyenlete Nem törődve a kor kételyeivel Joseph Fourier francia matematikus az 1800-as évek elején igen sikeresen alkalmazta a három matematikus által kidolgozott, illetve vitatott módszert a hő terjedésének matematikai leírására.
1822-ben jelent meg Fourier könyve, amelyben a következő kérdést vizsgálta.
Adott egy homogén rúd, amely a környezetétől el van szigetelve, tehát a hő csak a rúdban áramlik; a rúd és a környezete között nem. A kérdés az, hogyan írhatjuk le a rúd belsejében zajló hőmérséklet-változást. Egy test által tárolt hőmennyiség a test tömegétől és hőmérsékletétől függ: minél nagyobb a hőmérséklet, annál nagyobb a hőmennyiség. Pontosabban, a hőmennyiség arányos a tömeggel és a hőmérséklettel, vagyis egy m tömegű test hőmennyisége , ahol egy konstans és T a hőmérséklet.
Fourier problémájára visszatérve, a rúd homogenitása azt jelenti, hogy a rúd bármely [a,b] szakaszának a tömege , ahol egy konstans. Így az [a,b] szakasz hőmennyisége , ahol . Ha a szakasz mentén a hőmérséklet változik (az x pontban a hőmérséklet T(x)), akkor belátható, hogy az [a,b] szakasz hőmennyisége .
Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a rúd hőmérsékletét a függvény írja le abban az értelemben, hogy a t időpontban a rúd x pontjában a hőmérséklet . Ekkor egy t időpontban az [a,b] szakasz hőmennyisége Az [a,b] szakasz hőmennyisége azért változik, mert a szakasz a végpontokban hőt ad le vagy hőt vesz fel. Fourier feltételezte (helyesen), hogy a b pontbeli hőáramlás sebessége arányos a hőmérséklet b pontbeli deriváltjával, tehát itt a hőáramlás sebessége , ahol egy pozitív konstans. Az a végpontban a hőáramlás ellentétes, így itt a sebesség . Végül is azt kaptuk tehát, hogy a H hőmennyiség változásának sebessége , azaz . Itt b-a-val leosztva, majd b-vel a-hoz tartva azt kapjuk, hogy . Ez minden a-ra igaz, tehát minden x-re, ahol konstans. Most Fourier-t követve tegyünk egy további egyszerűsítést: tegyük fel, hogy a rúd végpontjaiban a hőmérséklet 0 fok. (Ezt úgy kell elképzelnünk, hogy a rúd végpontjai egy nagy, 0 fokos tartályhoz csatlakoznak, amely a végpontokban fenntartja az állandó 0 fokos hőmérsékletet.) Ha a rúd hossza L, akkor az azt jelenti, hogy minden t-re. Feltehetjük, hogy c nem azonosan nulla, így .
Ezt az egyenletet a rezgő húr problémájánál látott módszerrel oldhatjuk meg. Rögzítsünk egy olyan t-t, amelyre . Ekkor az előbb kapott egyenlet alapján f kielégíti az differenciálegyenletet minden -re, ahol . Ha , akkor f lineáris, tehát a kezdeti feltételek alapján azonosan 0. Ezt az esetet (ami annak felel meg, hogy a rúd hőmérséklete folyamatosan azonosan 0) kizárhatjuk. Ha és , akkor a differenciálegyenlet megoldása: . Ez a megoldás a kezdeti feltételt csak a esetben elégíti ki, tehát szintén kizárhatjuk. Így szükségképpen és . Ekkor a differenciálegyenlet megoldása a következő: . Mivel , ezért , tehát alapján , ahol n egész szám. Azt kaptuk tehát, hogy ha a rúd hőmérsékletét egy alakú kifejezés írja le, akkor és c kielégíti a differenciálegyenletet.
Ebből a gondolatmenetből kiindulva Fourier arra következtetett, hogy a rúd hőmérsékletét általános esetben alakú függvények írják le, éppúgy mint a rezgő húr problémájának esetében. Ezért Fourier Bernoulli véleményét osztva azt állította, hogy minden szerint periodikus függvény előállítható alakban.
A történelmi kezdetek A trigonometrikus sorokkal kapcsolatos vitában, melyet a matematikatörténet leghíresebb és legnagyobb horderejű polémiájaként tartunk számon, sok minden keveredett. Mindenekelőtt tisztázatlan volt a függvény fogalma. Fourier műveiben tetten érhető, hogy milyen hatalmas gondolati nehézséget jelentett a függvénytől mint formulától eljutni a függvényhez mint hozzárendeléshez. Fourier egy helyen ezt írja: „Figyelemre méltó, hogy olyan görbék és felületek ordinátáit is ki tudjuk fejezni konvergens sorok segítségével, amelyek nincsenek folytonos szabálynak alávetve.” Másutt így fogalmaz: „Egy függvény egészen tetszőleges lehet, azaz adott értékek olyan egymásutánja, melyek az x értékeinek felelnek meg és nem feltétlenül vannak alávetve egy közös szabálynak... Az f(x) függvény az ordináta értékeinek egymásutánját jelenti, amely értékek mindegyike tetszőleges... Ezek bármilyen módon követhetik egymást, és mindegyik úgy van megadva, mintha különálló mennyiségek volnának.”
Mégis, egyéb részletekből és a bizonyításokból (amelyek általában nélkülöznek minden precizitást) világosan kiderül, hogy a Fourier által elképzelhető legáltalánosabb függvények nem egy, hanem több képlet által vannak definiálva néhány egymáshoz csatlakozó intervallumon. Tehát csak annyit jelent, hogy az értékek nincsenek alávetve egy közös szabálynak.
A másik tisztázatlan fogalom a folytonosság volt. Euler azokat a függvényeket nevezte folytonosnak, amelyek „analitikus képlettel” vannak megadva. Azokat a függvényeket pedig, amelyek grafikonját „szabadon mozgó kézzel” felrajzolhatunk, összefüggőnek nevezte. Végül Cauchy tisztázta a folytonosság (mai értelemben vett) fogalmát. Viszont Cauchy úgy vélte (be is bizonyította, de ma már tudjuk, hogy hibásan), hogy folytonos függvények végtelen összege is szükségképpen folytonos. Ez további komplikációt jelentett, mert többen felfedezték, hogy a trigonometrikus sor összege a ( 0, ) intervallumban a konstans \4 függvény, a () intervallumban pedig a konstans -\4 függvény. Fourier ezen úgy próbált segíteni, hogy azt mondta: ennek a függvénynek a grafikonja k pontokban függőleges szakaszokat tartalmaz, tehát a függvény mégis folytonos. Végül Dirichlet volt az, aki tiszta vizet öntött a pohárba. 1829-ben írt korszakalkotó dolgozatában egyrészt bevezette a függvény (= hozzárendelés) mai fogalmát, és ezt az immár Dirichlet nevét viselő függvénnyel illusztrálta, másrészt precízen bebizonyította a Fourier-sorok első konvergenciatételeit. A Fourier-sorok matematika elmélete valójában tehát Dirichlet-vel kezdődik.
Végső soron a halmazelmélet is a Fourier-soroknak köszönheti a létét. Amikor Cantor 1870-ben bebizonyította, hogy minden függvény legfeljebb egyféleképpen állítható elő trigonometrikus sor összegeként, akkor azon kezdett gondolkozni, hogy mi mondható abban az esetben, amikor az előállítás csak a bizonyos pontok kivételével igaz. Ezeknek a kivételes halmazoknak a vizsgálata vezette el Cantort a rendszámok, a megszámlálható halmazok és végül a halmazelmélet felfedezéséhez.
Fourier-analízis és Fourier-szintézis további alakulása Egy adott f függvényt bizonyos értelemben jellemzik a Fourier-együtthatói. Ennek alapján lehetőség van arra, hogy az általában bonyolultabb f függvényt (időben változó jelet) egy sok vonatkozásban egyszerűbb számsorozattal adjunk meg. Ezt a műveletet Fourier-analízisnek nevezzük: áttérünk az időtartományból a frekvenciatartományba. A fordított eljárást – amikor az együtthatókból rekonstruáljuk a függvényt – Fourier-szintézisnek nevezzük.