Az n-edfokú racionális egészfüggvényeket, rövidebben polinomfüggvényeket az
hozzárendelés definiálja, ahol az ai-k valós (vagy komplex) számok. Például egy harmadfokú racionális egészfüggvény. Szorzással, összeadással és kivonással leírható függvények. Megadhatók más alakban is, például Horner-sémában vagy gyöktényezős felbontásban.
A polinomok az általánosabb racionális függvények közé tartoznak. Speciális esetei a lineáris függvény és a másodfokú függvény.
Cikkünkben főként valós racionális egészfüggvényekkel foglalkozunk, ami azt jelenti, hogy mind az együtthatók, mind az értelmezési tartomány valósak. Ahol komplex számok is szóba jöhetnek, ott azt külön jelezzük.
Példák Az függvény harmadfokú polinom, melynek együtthatói és . Az polinomfüggvény gyöktényezős alakban van adva. Normálformára hozáshoz fel kell bontani a zárójeleket:
Tehát ez a polinom negyedfokú, együtthatói és . Egy ötödfokú polinom együtthatói rendre , és normálalakja . Speciális esetek Elemi racionális egészfüggvény Fájl:Racionális egész hatványfüggvények-1.jpg
Az explicit egyenlettel adott függvény az ún. hatványfüggvények speciális esete, elemi függvény. Grafikonja az esetben egyenes, különben n-edfokú (elemi) parabola. A páros kitevőjű parabolák az Y tengelyre, a páratlanok az origóra szimmetrikusak. E függvények határértéke: .
Módosított elemi függvények A zérustól és 1-től különböző együtthatóval az egészfüggvények grafikonja az Y tengely irányában nyújtott/zsugorított, esetben az X tengelyre tükrözött (merőleges affinitás).
Általános polinomfüggvény
A polinomfüggvény természetes kitevőjű hatványfüggvények kombinációja. Grafikonja ún. n-edrendű görbe, mely az X tengelyt legfeljebb n pontban metszi/érinti (l.: az algebra alaptétele). Végtelenben vett határértéke a legmagasabb kitevőjű komponensével egyezik:
Fontosabb polinomfüggvények esetén a függvény konstans, esetén a függvény lineáris, . Itt a meredekség, és az -tengelymetszet. Egyenes arányosság függvénye: a lineáris függvény speciális esete. A grafikonja egyenes, amelynek állását az együttható (meredekség) határozza meg. Fájl:Racionális egész hatványfüggvények-2.jpg esetén a függvény másodfokú, , ahol , és rendre az és együtthatók. A grafikonja parabola (kúpszelet), állása előjelétől függ.
Fájl:Racionális egész hatványfüggvények-3.jpg esetén a függvény harmadfokú, , ahol ezek az együtthatók rendre az és együtthatók. Grafikonját 3-adfokú parabolának is nevezik. Alakja az együttható és a mennyiség előjelétől függ.
Fájl:Racionális egész hatványfüggvények-4.jpg esetén a függvény negyedfokú. Algebrai tulajdonságok A racionális egészfüggvények összeadása, kivonása, szorzása racionális egészfüggvényt eredményez. Ezzel a racionális egészfüggvények algebrát alkotnak vagy (komplex racionális egészfüggvények esetén) felett. A szakasz hátralevő része mindkét algebrára vonatkoztatható. Legyenek és racionális egészfüggvény. Ekkor
és . ahol az racionális egészfüggvény foka.
Továbbá két racionális egészfüggvény kompozíciója is racionális egészfüggvény. Azaz, ha racionális egészfüggvényt racionális egészfüggvénybe helyettesítünk, akkor racionális egészfüggvényt kapunk. Szimmetria Ha az összes kitevő páros, akkor a függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. Ekkor a függvény páros: . Ha az összes kitevő páratlan, akkor a függvény grafikonja szimmetrikus az origóra. Ebben az esetben a függvény páratlan: . Ha mind páros, mind páratlan kitevők vannak, akkor a függvény nem páros és nem páratlan, de más tengelyekre vagy pontokra lehet szimmetrikus.
Példák: Az függvény páros, mert csak páros kitevők szerepelnek: 6, 4, 2. Az függvény páratlan, mivel csak páratlan kitevők szerepelnek: 7 és 1. Az függvény nem páros és nem páratlan, de grafikonja szimmetrikus az inflexiós pontra. A másodfokú racionális egészfüggvények grafikonja szimmetrikus a csúcspontjukhoz húzott függőlegesre. A harmadfokú racionális egészfüggvények grafikonja szimmetrikus az inflexiós pontjukra. Határérték A végtelenbeli viselkedést a legnagyobb, a nullához közeli viselkedést a legkisebb kitevőjű tag határozza meg.
A racionális egészfüggvények hatványfüggvények lineáris kombinációi. Lassabban növekszenek, mint az egynél nagyobb alapú exponenciális függvények, függetlenül az együtthatóktól.
A racionális egészfüggvények határértéke véges. Pontosabban, az y-tengelymetszetet a konstans tag adja meg. Ezen a helyen a meredekség éppen . Az tengelymetszet helyén az érintő egyenlete .
Az esetben a racionális egészfüggvények divergálnak. A pontos viselkedés az főegyüttható előjelétől függ. Nagy abszolútértékek esetén ebből a szempontból az tag meghatározó, és a többi tag elhanyagolható; a függvény úgy viselkedik, ahogy a . A továbbiakban az értelmezési tartomány, és az értékkészlet.
Páros n Páratlan n A grafikon balról jobbra fentről indul, lemegy, majd ismét fel: ha alulról korlátos, a függvénynek van egy vagy több minimuma A grafikon balról jobbra lentről indul és felmegy: ha és ha A grafikon balról jobbra lentről indul, felmegy, majd ismét le: ha felülről korlátos, a függvénynek van egy vagy több maximuma A grafikon balról jobbra fentről indul és lemegy: ha és ha
Például az függvény esetén úgy viselkedik, mint , azaz balról fentről jobbra lefelé halad. Foka páratlan, főegyütthatója A függvényértékekre tehát: , ha , és , ha . Az esetben azonban úgy viselkedik, mint , -tengelymetszete , és itt a meredeksége . Gyökök Legyen racionális egészfüggvény! Ekkor gyökei azok a értékek, ahol a nulla értéket veszi fel, azaz . Egy racionális egészfüggvénynek legfeljebb annyi gyöke lehet, amennyi a foka. Egyetlen kivétel a konstans függvény, ami nulladfokú, de az összes valós szám gyöke. A többi nulladfokú, azaz konstans racionális egészfüggvénynek nincs gyöke. Ezzel teljesíti a feltételt, hiszen a fopka nulla, így az állítás szerint nem is lehetnek gyökei. Tényezőkre bontás Egy racionális egészfüggvény felírható lineáris tényezők és egy gyökök nélküli racionális egészfüggvény szorzataként. Azaz,
ahol gyökök, és a megfelelő gyökhelyek multiplicitása.
Például az
függvénynek háromszoros gyöke az , egyszeres gyöke , és kétszeres gyöke -ban. A és az függvények sehol sem veszik fel a nulla értéket, további gyököket nem adnak.
A lineáris felbontás meghatározható például polinomosztással. Az algebra alaptétele szerint a racionális egészfüggvények a komplex számok fölött lineáris tényezőkre bonthatók. Hogyha az összes együttható valós, akkor minden gyökkel együtt a komplex konjugáltja is gyök. Ez kevésbé észlelhető a valós gyököknél, mivel ezek önmaguk konjugáltja, de a nem valós komplex gyökök párban lépnek fel. Mindez azt jelenti, hogy a racionális egészfüggvények felbonthatók legfeljebb másodfokú tényezők szorzatára.
A gyökök a deriválttal is kapcsolatban áll: pontosan akkor -szoros gyöke -nek, ha és . A függvény viselkedése a gyökök környezetében Páratlan multiplicitás esetén a grafikon átmetszi az tengelyt. Ha a gyök egyszeres, akkor az átmetszés szöge nulla foknál nagyobb, és a helyi meredekségtől függ. Ha a páratlan fokszám legalább három, akkor a grafikon meredeksége nulla fok, a függvénynek nyeregpontja van.
Páros multiplicitás esetén a grafikon érinti az tengelyt. A függvényértékek itt nem váltanak előjelet. Ebben a pontban a függvénynek helyi szélsőértéke van. A gyökök száma Polinomosztással megmutatható, hogy a gyökök száma multiplicitással együtt sem nagyobb, mint a polinom foka.
Ha emellett számításba vesszük a folytonosságot, a viselkedést a gyökök környezetében és a -ben, akkor következik, hogy a gyökök száma multiplicitással ugyanolyan paritású, mint a függvény foka. Páros fokú függvénynek páros, páratlan fokúnak páratlan számú gyöke van. Következik az is, hogy páratlan fokú racionális egészfüggvénynek van legalább egy gyöke.
További szabályok vannak a gyökök számára, például Descartes előjelszabálya vagy a Sturm-lánc.
A komplex számok fölött vizsgálódva, az algebra alaptétele szerint az elsőfokú racionális egészfüggvényeknek van komplex gyöke (ami lehet valós is). Multiplicitással számolva a gyökök száma megegyezik a racionális egészfüggvény fokával. Így például az az függvény kétszeres gyöke. Végeredményben a racionális egészfüggvények komplex tényezős lineáris tényezőkre bonthatók. Korlátok A racionális egészfüggvények gyökeinek abszolútértéke különféle módszerekkel felülről becsülhető. Valós korlátok becsülhetik felülről vagy alulról is a gyököket. Valós korlátok Legyen pozitív valós szám, és racionális egészfüggvény! Ha valós gyökei a intervallumba esnek, akkor gyökkorlátja -nek. Ha valós gyökeinek felső korlátja , akkor felső gyökkorlátja -nek. Analóg definiálható az alsó gyökkorlát.
A továbbiakban legyen , azaz főegyütthatója egy! A nullától különböző konstanssal osztás a függvény értékeit is leosztja, de mivel a gyökökben a függvény értéke nulla, azért ezek a főegyütthatóval leosztott függvénynek is gyökei. Új gyökök nem keletkeznek, mivel ahol nincs gyök, ott a nullától különböző szám osztásával nem keletkezik nulla érték. Úgyhogy szorítkozhatunk az egy főegyütthatós racionális egészfüggvényekre. Egyes esetekben külön szerephez jut negatív együtthatóinak indexhalmaza, , melynek méretét jelöli. felső valós gyökkorlát (Cauchy-szabály), felső valós gyökkorlát (Newton-szabály), felső valós gyökkorlát (Lagrange és Maclaurin szabálya), ahol a legnagyobb abszolútértékű negatív együttható abszolútértéke, és a legnagyobb kitevő, melynek együtthatója negatív Minden , melyre teljesül az
egyenlőtlenség, valós gyökkorlát (egy ilyen komplex együtthatós polinomok komplex gyökeinek abszolútértékére is korlát). Speciális esetek (lásd még Gersgorin-tétel) és .
Komplex korlátok Legyen a komplex számokon értelmezett komplex együtthatós racionális egészfüggvény! Ekkor az abszolútértékre vonatkozó korlátok origó középpontú köröket határoznak meg a komplex számsíkon. Minden , ami eleget tesz az
egyenletnek, definiál egy sugarú kört az origó körül, ami gyököt tartalmaz. Ez az egyenlőtlenség esetén mindig megoldható, de esetén nem mindig. A esetben a valós gyökökre már ismert korlát adódik, az ott megadott közvetlen számítások -re ugyanúgy működnek, mint valós esetben. A esetben olyan kör adódik, ami nem tartalmaz gyököket. Ekkor az reciprok polinom korlátja. Gyökkeresési módszerek Egy racionális egészfüggvény gyökeinek meghatározására több módszer is létezik. Általában iterációs módszerek, például a Newton-módszer, a regula falsi, vagy a polinomokra specializált Bairstow-módszer, illetve a Weierstraß-(Durand-Kerner)-eljárás alkalmazhatrók, habár ezek egymáshoz közeli gyökök esetén sokat veszítenek sebességükből.
A megoldóképletek csak alacsony fokszám (első, másod, harmad, negyedfok) esetén alkalmazhatók. Lineáris esetben ekvivalens átalakításokkal, mérlegelvvel is megtalálható a gyök. Magasabb fok esetén csak speciális alakú polinomokra alkalmazhatók megoldóképletek: A reciprok polinomok alakja
ami azt jelenti, hogy . Szavakkal, az együtthatók szimmetrikusak. Ekkor az , illetve az helyettesítés segítségével a polinom foka a felére redukálható. A binomok alakja
Hogyha valós, akkor a gyökök:
, ahol Ha egy gyököt valahogy megtaláltunk, akkor kiemelhetjük a hozzá tartozó lineáris tényezőt. Páros racionális egészfüggvény esetén minden fokszám páros:
úgyhogy elvégezhető a helyettesítés. Ha találtunk egy megoldást akkor abból két megoldás adódik -re: és Hasonlóan lehet olyan racionális egészfüggvények gyökeit keresni, melyek összes kitevője osztható egy adott pozitív egésszel. Páratlan racionális egészfüggvény esetén minden fokszám páratlan:
Mivel egy páratlan racionális egészfüggvénynek nincs konstans tasgja, azért kiemeljük belőle az -et. Így a racionális egészfüggvény másik tényezője páros racionális egészfüggvény lesz. Hasonlóan csökkenthető a fokszám akkor, ha a legalacsonyabb fokú tag magasabb fokú. Differenciál- és integrálszámítás