A racionális törtfüggvény a valós számok halmazának olyan önmagára való leképezése, amelyben a hozzárendelést két polinom hányadosával adjuk meg:
.
Fájl:Racionális törtfüggvény 1.jpg
A függvény két polinomfüggvény, vagyis racionális egészfüggvény hányadosa. Az együtthatók lehetnek racionális, valós vagy komplex számok, az egyetlen kikötés, hogy nem lehet nulla, emiatt nem lehet az azonosan nulla polinom.
A leképezés értelmezési tartománya azokból a valós számokból áll, amelyekre nem nulla.
Típusai Ha a polinom foka nulla, azaz konstans, akkor a függvény polinomfüggvény, vagyis racionális egészfüggvény.
Egyébként, ha a nevező foka nagyobb, akkor valódi racionális törtfüggvényről van szó.
Ha ez nem teljesül, akkor a racionális törtfüggvény nem valódi. Polinomosztással egy polinom és egy racionális törtfüggvény összegeként ábrázolható.
A táblázat mutat néhány példát a számláló különböző fokaira és a nevező különböző fokaira:
Példa Alternatív írásmód z = n = Függvénytípus 3 0 racionális egészfüggvény 1 2 valódi racionális törtfüggvény 3 3 nem valódi racionális törtfüggvény 2 1 nem valódi racionális törtfüggvény
Tulajdonságai
Mivel -nek legfeljebb n nullhelye van, a függvény értelmezési tartománya legfeljebb n+1 nyílt intervallum uniója. Ezeken a nyílt intervallumokon a függvény folytonos és akárhányszor differenciálható. Az összefüggő zárt résztartományokon integrálható. A függvény grafikonja általában egy vagy több aszimptotával rendelkezik.
Fokszám, rendszám
Az m illetve n fokszámú polinomokkal definiált törtfüggvényeket (m/n)-edfokúnak nevezzük, s a grafikonjuk r rendszámát az egyenletük implicit alakjában szereplő legmagasabb fokszámmal adjuk meg:
Fontosabb törtfüggvények Fordított arányosság A görbe hiperbola (kúpszelet), explicit illetve implicit egyenlete:
(Az ábrán együtthatójú görbe, aszimptotái a koordináta-rendszer tengelyei.)
Fájl:Racionális törtfüggvény 2.jpg
Lineáris törtfüggvény A függvény és grafikonja az egyenes arányosság transzformáltja. Reciprok hatványfüggvény Fájl:Racionális törtfüggvény 3.jpgPontosabban: negatív egész kitevőjű hatványfüggvény. Grafikonja hiperbolikus típusú görbe. Páros kitevő esetén a két ága az Y tengelyre, páratlan kitevő esetén az origóra szimmetrikus.
Reciprok polinomfüggvény Az n-edfokú polinom reciprokaként megadott racionális törtfüggvény, melynek grafikonja a nevezőtől függően változatos alakú és számú nyílt görbeívből áll. A görbe rendszáma: r = n+1.
Fájl:Racionális törtfüggvény 4.jpg
Az ábrán az explicit alakban adott harmadrendű görbe látható. (Ennek speciális esete az Agnesi-féle görbe)
Aszimptotika A racionális törtfüggvényeknek szakadásuk van a nevező gyökeinél. Emellett még a végtelenben vett viselkedés is kérdéses.
A végtelenben vett viselkedés szempontjából a nevező és számláló foka döntő fontossággal bír. A szakasz további részében a számláló, a nevező fokszáma. Ha , akkor tart -hez, hogyha , ahol a szignumfüggvény. tart -hez, ha (az aszimptota párhuzamos az -tengellyel), tart -hoz (az -tengely vízszintes aszimptota), ha .
Ha , akkor a második és a harmadik esetben ugyanaz a határérték, mint esetén. A többi eset: Ha páros, akkor az érték ugyanaz, mint esetén. Ha páratlan, akkor az előjel ellentettje az értékének.
Ahogy majd később írjuk, polinomosztással a függvény felbontható egy polinom és egy valódi racionális törtfüggvény összegére. A polinom aszimptotikus görbét ad. A speciális esetben ferde aszimptota adódik. Az aszimptotikus görbe vizsgálatával az viselkedése egyszerűbben elemezhető.
Példák: Az lineáris törtfüggvény esetén a számláló foka és a nevező foka , így az határérték . Az racionális törtfüggvény számlálójának foka , nevezőjének foka ; a főegyütthatók und , tehát adódik az aszimptota egyenlete: . Az racionális törtfüggvény számlálójának foka , nevezőjének foka ; az és főegyütthatókkal adódik, hogy , ha . Mivel páratlan, azért határértékének előjele az előző ellentettje. A függvény írható úgy is, mint , a ferde aszimptota egyenlete , amivel az előbbi értékek könnyebben adódnak.
Diszkusszió Az függvényterm grafikonjának elemzésére a következő diszkusszió végezhető. Szimmetria Mivel szakadásai a gyökeiben vannak, a gyökök száma pedig véges, azért az periodikusságáról nem lehet szó.
Egy polinomfüggvény akkor páros vagy páratlan, ha minden kitevője páros vagy páratlan. Ha a számláló és a nevező típusa is ilyen, akkor az racionális törtfüggvény páros vagy páratlan. Nevezetesen: Ha és egyszerre páros vagy páratlan, akkor a racionális törtfüggvény páros. Ha és egyike páros, másika páratlan, akkor páratlan.
Egyéb esetben nehéz szimmetriáját meghatározni.
Példák:
Az függvény szimmetrikus az origóra, mivel páratlan és páros, a függvény páratlan. Az függvény szimmetrikus az y tengelyre, mivel és is páratlan, így a hányados függvény páros. Kiemelve egy x-et a számlálóból és a nevezőből, egyszerűsíthetjük a függvényt az . Mivel itt és páros, azért a hányados függvény is páros. Az függvényről nem lehet szimmetriát megállapítani az alakja alapján, de megmutatható, hogy szimmetrikus a P(1, 1) pontra, ugyanis: és . Eszerint elvégezve az átalakításokat , tehát szimmetrikus az szimmetrikus a P(1, 1) pontra. Egy alternatív módszer, hogy belátjuk, hogy a függvény megkapható -ből eltolással, azaz 1-gyel x irányba, és 1-gyel y irányba. Értelmezési tartomány, nevezetes pontok A racionális törtfüggvény nincs értelmezve a polinom gyökeiben. Nullhelyei azok a helyek, melyek gyökei -nek, de nem gyökei -nak.
Speciális esetben az valós szám mind a számlálónak, mind a nevezőnek gyöke. Polinomosztással kiemelhető egy vagy több tényező mind a számlálóból, mind a nevezőből. Hogy hányszor, azt a gyök multiplicitásának nevezik. Ha a nevezőben nagyobb a multiplicitás, akkor a hely pólushely, és a nevezőbeli multiplicitás a pólushely multiplicitása. Különben a szakadás megszüntethető.
Példák: Az függvény értelmezési tartománya , mivel a nevezőnek nullhelye . A függvénynek nullhelye van -ben, mivel ez a számlálónak egy olyan nullhelye, ami nem gyöke a nevezőnek. kétszeres pólus. Az függvény értelmezési tartománya . Itt azonban 1 a számláló és a nevező közös gyöke. Kiemelve az tényezőt, adódik, hogy . Innen egyszeres pólus, megszüntethető szakadás, nullhely. Az helyen nincs nullhely, mivel itt a függvény nincs értelmezve. folytonos folytatására és . Aszimptoták Polinomosztással kapjuk a függvény alakját, ahol és polinomok, és fokszáma kisebb, mint fokszáma. Az függvény aszimptotikus viselkedését a polinom határozza meg. A polinomosztást csak a harmadik és a negyedik esethez érdemes elvégezni. → az x-tengely aszimptota: → függőleges aszimptota: → ferde aszimptota: (a 4-es speciális esete) → racionális egészfüggvény mint közelítőfüggvény, lásd approximáció
Derivált A racionális törtfüggvények deriválásához általában a hányadosszabályt lehet használni, habár gyakran a láncszabály is hasznos lehet, például ha a nevező egy kéttagú összeg hatványa. A deriválás előtt előnyös elvégezni a polinomosztást, a számláló és a nevező közös tagjainak kiemelését egy külön tényezőbe, hogy a függvény alakja minél egyszerűbb legyen.
Példák: Az függvény esetén érdemes a láncszabályt is használni, mivel a nevezőben binom hatványa szerepel. A láncszabállyal a nevező deriváltja: , így a teljes függvény deriváltja . A számlálóban kiemelhetünk egy tényezőt: . Az függvény polinomosztással
alakra hozható, ahonnan leolvasható a ferde aszimptota egyenlete: . A számláló és a nevező tényezőkre bontása: , felismerhető és kiemelhető mindkét helyen egy tényező. A deriválásra előkészített alak: ; az egyszerűség kedvéért ebből az ; tényezőt fogjuk deriválni. A hányadosszabállyal . A szélsőértékek kereséséhez a deriváltat újra beszorozzuk az elhagyott tényezővel: . Primitív függvény A racionális egészfüggvényekkel szemben a racionális törtfüggvényeknek gyakran viszonylag nehéz meghatározni a primitív függvényét. A racionális törtfüggvény alakja szerint a következő összefüggéseket lehet használni, amihez általában a megfelelő alakra kell hozni: ha ha vagy ha ha ha
Szükség lehet a parciális törtekre bontásra is. Példák: Keressük az függvény primitív függvényét. Polinomosztással: . Az első szabály alkalmazásával a primitív függvény: . Keressük az függvény primitív függvényét, ha abszolútértéke legfeljebb 0,5. Polinomosztással . A negyedik szabállyal: . Keressük az függvény primitív függvényét. A függvény írható úgy is, mint , ahol . Az utolsó szabály primitív függvénye: . Az függvény primitív függvénye az helyettesítéssel határozható meg, miután a nevezőt teljes négyzetté alakítottuk:
Az primitív függvénye parciális törtekre bontással kapható a kiemelések után:
Alkalmazások A természettudományokban és a technikában számos alkalmazásuk van a racionális törtfüggvényeknek: A legegyszerűbb példa a fordított arányosság, két mennyiség szorzata állandó. Példák: Rögzített út megtételéhez szükséges idő és sebesség. Adott mennyiségű oldott anyag koncentrációja fordítottan arányos az oldószer térfogatával. Adott erő esetén a gyorsított test tömege és gyorsulása. Egy síkkondenzátor elektromos kapacitása a lemezek közötti távolság függvényében: , ahol a lemezek felülete, a vákuum permittivitása, és a permittivitás. A fizika több területén is előkerül az függvény a harmonikus középpel összefüggően. Ha az egyiket paraméternek tekintjük vagy adottnak vesszük, akkor a másik racionális törtfüggvénye adódik. KÉt másik függvény reciprokainak összegének reciprokáról van szó. Az optikában egy lencse gyújtótávolsága a tárgy és a kép távolságágából számítható: ; átrendezve hasonló képlet adódik, de összeadás helyett kivonással. Párhuzamos kapcsolás esetén két ellenállás, és együttes ellenállása: . Hasonló teljesül két sorosan kapcsolt kondenzátor kapacitására. A mechanikában ha két rugót egymás után függesztünk, és rugóállandójuk és , akkor az együttes rugóállandó . Feszültségelosztó esetén egy ellenálláson eső feszültség , ahol az elosztandó feszültség és a másik ellenállás. Egy ellenállású fogyasztó által leadott teljesítményére adódik, hogy , ahol feszültség és a feszültségforrás belső ellenállása. A legnagyobb lehetséges teljesítmény: . Egy nem túl rövid induktivitású tekercsre az sugárral összefüggésben teljesül a következő: , ahol a tekercs hossza, a menetek száma, a mágneses mező konstansa. Egy Atwood-féle gép esetén az gyorsulás a következőképpen függ és tömegektől: ; tekinthető vagy racionális törtfüggvényének. A geometria is felvethet olyan kérdéseket, amelyekre racionális törtfüggvény adja a választ: Egy test egy , , és élű téglatest és egy erre illesztett magasságú, sugarú félhenger egyesítése. Adott térfogat esetén a felszín: .
Polinomok hányadosteste
Az absztrakt algebrában a polinomok hányadosteste hasonlóan áll elő polinomokból. Egy test fölötti változós polinomgyűrű hányadostestéről van szó absztrakt értelemben.
A racionális törtfüggvények szoros kapcsolatban állnak a polinomok gyűrűjének hányadostestével, de a két fogalom nem azonos. Például a
és a
kifejezések mint a valós együtthatós polinomok hányadostestének elemei egyenlőek, mivel ott osztható -gyel, és a hányados . De ha -et és -et mint racionális törtfüggvényeket tekintjük, akkor nem egyenlőek, hiszen értelmezhető az helyen, viszont nem.
Véges test fölött a különbségtétel még egyszerűbb: (maradékosztályok teste modulo egyp prímszám) fölött definiált hányadostestben jóldefiniált racionális függvénye -nek, habár szűkebb értelemben véve nem függvény, mivel sehol sem értelmezhető.
Ugyanis behelyettesítve elemeit, kapjuk, hogy , ami nem értelmezhető, hiszen a kis Fermat-tétel miatt azonosan nulla. Végtelen test fölött ugyanez nem fordulhat elő, csak viszonylag kevés helyen nincs egy racionális törtfüggvény értelmezve. A Zariski-topológia szerint azok a helyek, ahol a függvény nincs értelmezve, Zariski-zárt halmazt alkotnak, és az értelmezési tartomány lezártja a teljes halmaz.