A matematikában egy leképezés fixpontjának nevezünk egy olyan pontot, amelyet a leképezés helyben hagy. Egy leképezésnek lehet nulla, egy, véges sok, vagy végtelen sok fixpontja. Ha egy leképezés értelmezési tartományának minden pontja fixpont, akkor a leképezést identikus leképezésnek, vagy identitásnak hívjuk.
Definíció Legyen egy leképezés, és legyen . Azt mondjuk, hogy fixpontja -nek, ha .
Példák
A sík egy e egyenesre való tükrözésének fixpontja e valamennyi pontja.
A sík egy nullától különböző v vektorral való eltolásának nincs fixpontja.
A valós számokon értelmezett függvénynek fixpontja a 0 és az 1, hiszen és .
Jelölje D a végtelenszer differenciálható valós-valós függvények halmazán értelmezett differenciáloperátort, amely minden függvényt a deriváltjára képez le. Akkor D-nek fixpontja az függvény.
Fixpontokkal kapcsolatos nevezetes tételek
Brouwer fixponttétele azt mondja ki, hogy -ben a zárt egységgömb minden önmagára vett folytonos leképezésének van fixpontja. Schauder fixponttétele szerint minden olyan leképezésnek van fixpontja, ami egy véges dimenziós Banach-tér kompakt, konvex részhalmazát önmagába képezi. Banach fixponttétele azt állítja, hogy egy teljes metrikus tér kontrakciójának, távolságot nem növelő leképezésének van fixpontja.
A fixpontiteráció:
a Banach-fixponttételen alapul. Minden olyan hasonlóságnak, ami nem egybevágóság, van fixpontja.
Források Mathworld
További információk Bessenyei Mihály–Páles Zsolt: Fixponttételek és alkalmazásaik; Typotex, Bp., 2023
Kategória:Függvények