A tizedes tört a valós számok (ℝ), főképp a nem egész számok egyik kanonikus (azaz gyakran alkalmazott és minden szám esetében majdnem teljesen egyértelmű) felírása. A kivételt a véges tizedes törtek alkotják.
Bebizonyítható (például a Cantor-axióma felhasználásával), hogy tetszőleges r valós szám felírható a következő formában:
avagy
ahol s értéke 0 vagy +1 vagy −1 lehet (ez az r szám előjele); m egy természetes szám; a z és t sorozatok tagjai a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} halmazból valók; zm pedig nem 0, ha m > 0.
A zi és ti számokat a szám számjegyeinek nevezzük (mégpedig tizedesjegyeinek – ugyanis más számrendszerekben is lehetséges a törtszámok felírása). A 10i · zi szorzatok összege |r| egészrésze, a többi, tehát a 10−i · ti szorzatok végtelen összege pedig |r| törtrésze.
Korlátozott egyértelműsége
A fenti forma bármilyen s, z és t jegyek esetén kijelöl egyetlen valós számot, ám ez fordítva nem igaz, azaz egy számhoz több ilyen felírás is tartozhat. Azokat a nem nulla racionális számokat, amelyeknek egyszerűsített törtfelírásában a nevező a 2-n és az 5-ön (a 10 prímosztóin) kívül más prímszámmal nem osztható, kétféleképpen is felírhatjuk. A tizedes tört egyik lehetséges formájában egy bizonyos helyi érték után csupa 0, a másik formájában csupa 9-es áll. Például:
Ha megköveteljük, hogy ne lehessen valamely helyi érték után csupa 9-es a felírásban, akkor már minden szám esetén egyértelmű lesz a felírás. Az ilyen racionális számok felírásában tehát valamely helyi érték után csupa 0 szerepel, amit már nem szokás kiírni. Az ilyen tizedes törtet pedig véges tizedes törtnek nevezik. Ha mégis kiírnak valahány 0-t a tizedes tört végére, akkor az az érték pontosságát mutatja.
Ha egy bizonyos helyi érték után a tizedesjegyek periodikusan, azaz szakaszosan ismétlődnek, akkor szakaszosan ismétlődő végtelen tizedes törtről, egyébként pedig nem szakaszos vagy aperiodikus tizedes törtről beszélünk.
A véges, valamint a végtelen szakaszosan ismétlődő tizedes törtek a racionális számoknak, míg a végtelen, szakaszosan nem ismétlődő tizedes törtek az irracionális számoknak felelnek meg.
Példák
Néhány nemnegatív szám tizedestört-alakja (a * azt jelzi, hogy a tizedes tört a megfelelő küszöbtől kezdve periodikus, periódusa a *-ok közti szakasz; a véges tizedes törtek *0* periódusait nem szoktuk kiírni, sem pedig a 0 törtrészű számok törtrészét):
Szám Rövid tizedestört-alak Teljes tizedestört-alak 0 0 0,*0* 1 1 1,*0* 10 10 10,*0* 1/10 0,1 0,1*0* 1/100 0,01 0,01*0* 1/1000 0,001 0,001*0* 1/2 0,5 0,5*0* 1/4 0,25 0,25*0* 1/8 0,125 0,125*0* 1/3 0,33... 0,*3* 2/3 0,66... 0,*6* 1/5 = 2/10 0,2 0,2*0* 1/6 0,166... 0,1*6* 5/7 0,714285... 0,*714285* π 3,141592... 3,141592...
Műveletek tizedes törtekkel Véges tizedes törtekkel ugyanúgy lehet számolni, mint az egészekkel, egyedül a tizedesvessző helyére kell ügyelni. A végtelen (akár periodikus) tizedestört-alakokkal való számolás azonban már bonyolultabb, ezzel a határértékszámítást felhasználva a matematikai analízis sorelmélet nevű része foglalkozik. A végtelen tizedes törtek ugyanis tekinthetők végtelen sorozatok határértékének. Számolás végtelen konvergens sorozatokkal Szorzás. Legyen an és bn két konvergens sorozat, jelölje ezek határértékét rendre α és β. Ekkor anbn is konvergál, mégpedig éppen αβ-hoz.
Bizonyítás: Meg kell mutatnunk, hogy akármilyen kicsi lehet.
Átalakítjuk egy kicsit az képletet:
A háromszög-egyenlőtlenséggel:
Legyen ε tetszőleges pozitív szám, r pedig nagyobb |β|-nál és az |an| sorozat felső korlátjánál is. (Vagyis r > |β| és r > |an|, minden n-re. Minthogy an konvergens, ilyen r létezik és pozitív.)
an konvergál α-hoz, ezért van olyan n1, hogy minden n1-nél nagyobb n-re .
Hasonlóan, bn konvergál β-hoz, ezért van olyan n2, hogy minden n2-nél nagyobb n-re .
Minden olyan n-re, amely n1-nél és n2-nél is nagyobb:
Ez pedig éppen azt jelenti, amit bizonyítani akartunk, vagyis hogy a sorozatok elemenként vett szorzatának határértéke a határértékek szorzata.
A többi művelet hasonlóan bizonyítható.
Eszerint lehet úgy közelíteni a számítások eredményét, hogy a két közelítő sorozattal számolunk, és a kapott sorozatnak vesszük a határértékét. Bizonyos esetekben nem kell végtelen sorozatokat használni; ha van képlet a végtelen sorozatokra, akkor a számolásnak a pontos eredménye is megkapható.
A végtelen aktualitása A végtelen tizedes törtekkel való számolás definíciója felveti a végtelen aktualitásának kérdését. Ez egy bonyolult metamatematikai kérdés, ami azt feszegeti, hogy a végtelen sok lépésben megkonstruált matematikai objektumok valóban létezőknek tekinthetők-e, vagy csak a konstrukciójuk létezik. Általában az axiómák aktuálisnak veszik a végtelent, de vannak alternatív matematikai rendszerek, amik másként állnak ehhez a kérdéshez. Azonban, amennyiben nem tekintjük aktuálisnak a végtelent, nemcsak hogy nem aktuálisak a műveletek, hanem maguk a végtelen tizedes törtek sem azok.
Kategória:Elemi algebra Kategória:Valós számok Kategória:Valós analízis
es:Sistema decimal ja:十進記数法 pt:Sistema decimal