bélyegkép|240px|Egy paralelogramma és annak magassága, átlói
A paralelogramma olyan négyszög, amelynek két-két szemközti oldala párhuzamos. A középpontos szimmetria miatt két-két szemközti oldalának a hossza egyenlő, szemközti szögei váltószögek, egyenlők. Szomszédos szögei társszögek, tehát kiegészítő szögek. Átlói felezik egymást, metszéspontjuk a szimmetriaközéppont. Az átlók hosszának négyzetösszege megegyezik az oldalak hosszának négyzetösszegével.
Területét egyik oldalának és az erre az oldalra merőleges magasságának szorzata, illetve két szomszédos oldalának és az ezek által bezárt szög szinuszának szorzata (két szomszédos oldalvektor vektoriális szorzatának hossza) adja:
A paralelogramma speciális trapéz, melynek két párhuzamos oldalpárja van.
A paralelogrammák speciális esetei: Az olyan paralelogrammát, amelynek minden oldala egyenlő, rombusznak nevezzük. Ha egy paralelogramma szögei derékszögek, téglalapnak nevezzük. Ha a paralelogrammának a szögei és az oldalai is egyenlőek, akkor négyzet.
Bármilyen paralelogrammával többféleképpen is lefedhető a sík.
A paralelepipedon egy hatoldalú test, amelynek minden oldala paralelogramma. A paralelogramma a paralelepipedon síkbeli analógja.
Nyelvújításkori elnevezése egyenközény volt, de ez nem gyökerezett meg. Tulajdonságai Egy négyszög paralelogramma, ha: Szemben fekvő oldalai egyenlő hosszúak, és az egymással szemben fekvő oldalak egyenesei nem metszik egymást. Két szemben fekvő oldala egyforma hosszú és párhuzamos. Az egymással szemben fekvő szögek egyenlőek. A szomszédos szögek összege 180°. Az átlók felezik egymást. Paralelogrammaazonosság: Az oldalak négyzetének összege egyenlő az átlók négyzetének összegével. Pontra szimmetrikus
Minden paralelogrammára teljesül, hogy: Mindkét átlója egybevágó háromszögekre osztja Szimmetria-középpontja megegyezik az átlók metszéspontjával Thébault-Yaglom-tétel: az oldalaira emelt négyzetek középpontjai négyzetet alkotnak.
Ha egy paralelogrammának van szimmetriatengelye, akkor téglalap vagy rombusz. Képletek A paralelogramma matematikai képleteiTerületKoordinátatranszformációval téglalappá alakítható, ennek determinánsa:thumb|300px|KerületBelső szögekMagasságAz átlók hossza (lásd koszinusztétel)Paralelogrammaazonosság A területképletek bizonyítása thumb|260px||Animáció egy paralelogramma átdarabolásáról téglalappá. Ennek egyik oldala megegyezik a paralelogramma egyik oldalával, másik oldala a magasság, amit itt jelöl thumb|200px|A nagy téglalapból hat kis felületet kell elvenni, hogy megkapjuk a fekete paralelogrammát A fekete paralelogramma területét megkaphatjuk, ha a nagy téglalapból levonjuk a hat különálló színes élű felület területét. A szimmetria és a szorzás kommutativitása miatt elég a hat helyett a három alsó színes felület területét kétszer levonni.
A képlet színek nélkül:
Paralelogrammarács thumb|right|Parallelogrammarács A paralelogrammákból rács képezhető a síkban. Ha az oldalak egyenlő hosszúak, vagy a szögek derékszögek, akkor a szimmetria nagyobb. Ezek reprezentálják a négy kétdimenziós Bravais-rácsot.
Geometriai alakzatNégyzetTéglalapRombuszParallelogrammaBravais-rácsnégyzetes Bravais-rácsderékszögű Bravais-rácscentrált-derékszögű Bravais-rácsferdeszögű Bravais-rácsKristályrendszertetragonális kristályrendszerorthorhombikus kristályrendszerorthorhombikus kristályrendszermonoklin kristályrendszerKép160x160px160x160px160x160px160x160px
A paralelogrammarács formális leírása:
ami végtelen számú pont elrendezése a síkban. Itt a , vektorok a szomszáédos pontok irányvektorai. Affin lekép4ezéssel a paralelogrammarács négyzetrácsból is kapható.Wolfram MathWorld: Cubic Lattice
A paralelogrammarács pontra szimmetrikus, azaz kétfogású forgásszimmetriája van, emellett eltolásszimmetrikus is. Paralelogramma szerkesztése Adva legyenek a paralelogramma és oldalai, illetve a magassága. Ekkor a paralelogramma körzővel és vonalzóval szerkeszthető, ahogy az ábra mutatja.
thumb|500 px|balra|Parallelogramma szerkesztése, ha adottak és oldalai, illetve a magassága. A derékszög szerkesztéséhez az pont szabadon választható. Az animáció végén 10 s szünet van
Varignon-tétel gerahmt|Minden ABCD négyszögben a belső EFGH négyszög parallelogramma A Varignon-tétel szerint, ha egy négyszög szomszédos oldalainak középpontjait összekötjük, akkor paralelogrammát kapunk.
Bizonyítás: Legyen ABCD a négyszög csúcsainak betűzése, körüljárási sorrendben.
Ekkor definíció szerint .
Ekkor az ABC háromszög hasonló az EBF háromszöghöz. Ha kiválasztjuk a B pontot egy középpontos nyújtás középpontjának, akkor aránnyal A-t E-re, C-t F-re képezzük le. A középpontos nyújtás tulajdonságai miatt a képszakaszok párhuzamosak az eredetiekkel. Emiatt . Hasonlóan belátható, hogy , , és . Mivel az euklideszi síkon a párhuzamosság ekvivalenciareláció, azért tranzitív is. Így tehát és .
Az EFGH négyszög szemben fekvő oldalai párhuzamosak, ami megfelel a paralelogramma egyik ekvivalens definíciójának.
A párhuzamos szelők tételével bizonyítható, hogy és , azaz a szemben fekvő oldalak egyenlő hosszúak. Ez a paralelogramma egy másik ekvivalens definíciója.
A párhuzamos szelők tételének egy másik következménye, hogy az EFGH paralelogramma kerülete akkora, mint az ABCD négyszög átlóinak összege, területe pedig fele akkora, mint az ABCD négyszögé.Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg: Varignon-Parallelogramm Paralelogrammák négyzetekkel thumb|180px|2-es ábra thumb|178px| 1-es ábra Adva legyen egy paralelogramma, melynek oldalaira négyzeteket emelünk. Ekkor a négyzetek átlóinak metszéspontjai, , , és egy újabb négyzet csúcspontjai.
Bizonyítás: A négy sárga , , és háromszög két-két oldala megegyezik, és az általuk közrezárt , , és csúcsnál levő szögeik is egyenlőek. A háromszögek egybevágóságáról szóló tétel miatt egybevágók, tehát az négyszög minden oldala egyenlő, vagyis rombusz. Mivel a négyzetek átlói merőlegesek egymásra, azért derékszög. Mivel a és szögek ugyanekkorák, így is derékszög. Tehát nemcsak rombusz, hanem négyzet is.Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, , S. 129/172 Aranymetszés a paralelogrammákban thumb|hochkant=1.5|Felszínkitöltés háromszögspirálokkal Legyen egy paralelogrammában az oldalak aránya éppen az aranymetszés, a belső hegyesszög pedig 60 fok. Választhatjuk azt, melynek a rövidebb oldala 1.
Ekkor egyenlő oldalú háromszögek két sorozata helyezhető el úgy, hogy a kisebb oldala éppen aranymetszsési arányban áll a nagyobbhoz képest. Mivel a paralelogramma középpontosan szimmetrikus átlóinak metszéspontjára, a két sorozat egybevágó, és spirál alakzatban kitöltik a teljes paralelogrammát. A belső paralelogrammák területe nullához tart. Ha m az eredeti paralelogrammában a hosszabb oldalhoz tartozó magasság, akkor az egy-egy spirál által betöltött terület: .Hans Walser: Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, , Seite 77
Általánosításai thumb|Parallelepipedon Magasabb dimenziós általánosítása a parallelotóp, melyet a halmaz, illetve párhuzamos eltoltjai definiálnak, ahol a halmaz dimenziója. További követelmáény, hogy a vektorok lineárisan függetlenek legyenek. A parallelotópok középpontosan szimmetrikusak.
Három dimenzióban a megfelelő parallelotóp a parallelepipedon. Oldallapjai hat, egymással páronként párhuzamos síkban fekvő paralelogramma. Éleinek száma tizenkettő, melyek egyenlő hosszúak, és közülük négy-négy egymással párhuzamos. Csúcsainak száma nyolc, melyekben az élek legfeljebb három különböző szögben futnak össze. Alkalmazások a technikában A mechanikában gyakran lehet paralelogrammákkal találkozni. Négy csuklóval mozgatható, a paralelogramma tulajdonságot megőrző szerkezet állítható elő, a paralelogrammavezérlés. Példák:
Jegyzetek
Források F. Wolff: Lehrbuch der Geometrie. Vierte verbesserte Auflage, Druck und Verlag von G. Reimer, Berlin 1845 (Online-Kopie). P. Kall: Lineare Algebra für Ökonomen. Springer Fachmedien, Wiesbaden 1984, . Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, .
. Abgerufen am 18. November 2016. . Abgerufen am 18. November 2016. . Abgerufen am 15. Mai 2025.
Fordítás
Kategória:Négyszögek