A nulla páros szám, mert kielégíti a „páros számnak lenni” nevű tulajdonságot, azaz a kettő egész számú többszöröse, nevezetesen a kettő nullaszorosa. A számok fogalmi történetében a nullának külön saját fejezete van, mivel viselkedése sajátos.

Ezt szemlélteti a következő példa, ami a többszörös szó köznyelvi és matematikai használata közti különbségre mutat rá. Egy egész szám többszöröse abszolút értékben nem mindig nagyobb az eredeti számnál: az egyszerese ugyanannyi, a nullaszorosa pedig nulla. Mégis, definíció szerint ez utóbbi két esetben is többszörösről beszélünk.

Nézőpontok

Egy matematikai fogalom pontos definíciója megegyezésen alapul. Egyes definíciókat úgy alkottak meg, hogy kizárjanak egyes nem triviális példákat.

A nulla párossága konvenciónak is tekinthető, hiszen a párosságot lehetne úgy is definiálni a természetes számok körében, hogy a páros számok a kettő pozitívegész-szeresei. Minden konvenció esetében felvethető, vizsgálható, hogy hasznos-e, fölösleges-e, vagy esetleg egyenesen káros. A vizsgálatok azt mutatják, hogy a nulla paritása mint konvenció egyrészt nagyon hasznos és kézenfekvő tudományos szempontból, másrészt pszichológiailag nehezen elfogadható. Nem elfogadhatatlan ugyan, de számos előnye mellett is, nem mindenki érzi természetesnek. A problémának emiatt nagy a jelentősége az oktatásban.

Történeti áttekintés

Nehéz megmondani, hogy ki vizsgálta elsőként a nulla paritását, de azt tudjuk, hogy a páros-páratlan tulajdonság már a nulla bevezetése előtt ismert volt. A történeti fejlődés párhuzamba állítható a gyerekek fogalmi fejlődésével.Levenson et al p. 84

Az ókori görögök általában a kettőt tekintették az első páros és a hármat az első páratlan számnak (a nullát nem is ismerték), de néhányuk nem ismerte el, hogy a kettő páros. Az egyet nem tekintették számnak, hanem a számok alkotójának, ezért úgy gondolták, hogy páros és páratlan is, ezáltal nem igazán páros és páratlan. Ez a duális természet metafizikai kellemetlenségekhez vezet; egy történész szerint elkerülhették volna ezt a kellemetlenséget, ha ismerték volna a nullát.

A nulla algebrai tulajdonságaival Brahmagupta foglalkozott elsőként rendszeresen. Két modern szerző szerint nem sokkal később ind matematikusok felismerték a nulla páros voltát. Egy közgazdasági könyv ezt az állítást Brahmagupta kortársainak tulajdonítja, míg egy történelmi regény szerint al-Hvárizmi arab matematikus nevezte elsőként párosnak a nullát, amikor a kalifával vitázott a sifr számról. Haven references himself in a later work making the same claim, Ezek a szerzők nem idézik forrásaikat, ezért nehéz megerősíteni őket. Az újkorban először Stephen Chase könyvében, az A Treatise on Algebrában jelent meg 1849-ben.

Szaktudományos jellegű negatív érvek a párosság mellett

Lehetséges lenne újradefiniálni a páros tulajdonságot a nulla kizárásával, ez azonban, amellett, hogy kézzelfogható előnyt nem adna, számos hátránnyal járna. Az új definícióval például bonyolultabbá válnának még a legegyszerűbb tételek is, ahogy az a páros és páratlan számokkal való számolás példája mutatja. A legfontosabb (a nulla párosságának konvencióját elfogadó) szabályok az összeadásra, kivonásra és szorzásra vonatkoznak: páros ± páros = páros páratlan ± páratlan = páros páros × egész = páros

Megfelelő számokat helyettesítve nullát kapunk a jobb oldalon: 2 − 2 = 0 −3 + 3 = 0 4 × 0 = 0

A paritás újradefiniálásával az előbbi szabályok már nem teljesülnek. Ha most a nullát nem tekintjük sem párosnak, sem páratlannak, akkor a szabályok így változnak meg: páros ± páros = páros, vagy nulla páratlan ± páratlan = páros, vagy nulla páros × nem nulla egész = páros A szabályok ugyanazok, de nem szó szerint

A nulla páros voltának eltörlése megköveteli ezeket a kivételeket. Ha úgy akarjuk kiterjeszteni a paritást, hogy továbbra is teljesüljenek azok a tulajdonságok, mint amik a pozitív egész számokra fennállnak (permanenciaelv), akkor a nullát párosnak kell tekintenünk a szokásos definíció szerint.

Rengeteg olyan, a „párosok összege páros” tételek nehézségét meghaladó eredmény van a számelméletben, amik megkövetelik a páros számok szokásos aritmetikai és algebrai tulajdonságait, ezért a nulla paritásának eltörlése messzemenő következményekkel járna. Például a számok kanonikus alakjának, más néven prímtényezős felbontásának egyértelműsége azt jelenti, hogy ebből az alakból meghatározható, hogy a szám páros-e, vagy páratlan. Az egy prímtényezős alakja üres szorzat, mert az egynek nincsenek prímtényezői, minden prím a nulladik hatványon szerepel, így a kettő is. A nulla páros volta miatt az egynek páros sok különböző prímtényezője van. Ebből következik, hogy a Möbius-függvény az egy értéket veszi fel: , amivel multiplikatív tulajdonságú lesz, ami azt jelenti, hogy μ(ab) = μ(a)μ(b) minden pozitív a, b egészre. Ugyanezért működik a Möbius-féle megfordítási formula is. A Möbius-függvénynek ez a tulajdonsága belejátszik a Mertens-függvény értékébe is, ami az

összefüggéssel határozható meg.

Pozitív jellegű érvek a párosság konvenciója mellett

Ha többszörösnek tekintjük a nullaszorosokat is a természetes számok körében mozogva, akkor a nulla e definíció szerint páros, hiszen 0 = 2×0. Míg az egész számok additív csoportjában a nulla neutrális elem, azaz a vele végzett összeadás nem változtatja meg a másik összeadandót, addig – ebből a tulajdonságból következően – az egész számok multiplikatív, reguláris félcsoportjában zéruselem, azaz a vele végzett szorzás minden számot nullává tesz: 0×z = 0, speciális esetben, ha z=2, akkor 0×z = 0×2 = 0. Emiatt a nulla minden egész számnak többszöröse (a kettőnek is, tehát páros), avagy a nullának minden egész szám az osztója (a kettő is, tehát a nulla páros).

Kogníciós problémák a nulla paritásával

Pszichológiailag tekintve a nulla a legkevésbé páros. Páros voltát a legtöbb ember nagyobb reakcióidővel állapítja meg, mint más páros számokét, sőt: sokszor még a tanulók és a tanárok sem érzik természetesnek a nulla paritását, és hajlanak arra a hitre, hogy a nulla nem páros, és nem páratlan, hasonlóan ahhoz, hogy nem negatív, és nem pozitív; vagy, hogy páros is, és páratlan is. A matematikatanítás egyes kutatói egyetértenek abban, hogy ezek a tévhitek abból adódnak, hogy nem beszélnek erről eleget, és nem is gyakorolják. Az olyan állítások, hogy , segítik a tanulókat abban, hogy a nullát számként kezeljék, és számoljanak vele. Míg magát a nullát sikerül megérteni, addig paritásának felismerése egy korai példa arra, hogy az ismerős fogalomból elvonatkoztatással egy absztraktabb, új, kevésbé természetes fogalmat hozzanak létre.

thumb|alt=Numbers 0-8, repeated twice, in a complex arrangement; the 0s are on top, separated by a dotted line|A Scaling analysis of reaction times, showing separation of 0Nuerk et al. p.851

Dehaene kísérletei

Dehaene kísérletei nem a nullával kapcsolatos számérzék felmérését szolgálták, hanem a paritás feldolgozásáról akartak információt szerezni. A mentális kalkuláció hipotézise szerint gyorsan kell reagálni a nullára, ami kicsi szám, és amivel könnyen lehet számolni. A felmérések szerint könnyű a nullával szorozni, de nehéz kiválasztani a nullát, mint a művelet javasolt eredményét. A kísérletek eredménye szerint valami más történik: a paritást ahhoz hasonló tulajdonságként kezelik, mint a kettőhatványt, vagy a prímséget. Akárcsak a páros számok, a pozitív kitevőjű kettőhatványok sorozata olyan mentális kategória, amiben csupa páros szám szerepel. A nulla egyikben sem szerepel, ezért a válaszadás lelassul.Dehaene et al. 374-376

A kísérletet megismételték különböző nyelvi, nemzetiségi háttérrel, különböző írásirányokkal, 17-53 évesekkel, a számokat arab számjegyekkel, betűkkel, és tükörírással írva. Dehaene és társai egy fontos tényezőt találtak: a matematikai jártasságot. Egyik kísérletükben alanyaik az École Normale Supérieure hallgatói voltak: bölcsészhallgatók, matematikahallgatók és természettudományokat tanulók. A nulla páros voltának eldöntésekor a bölcsészcsoportban lényeges lelassulást tapasztaltak; továbbá néhányuknak újra fel kellett idézniük a matematikai definíciót, mert bizonytalanok voltak benne.Nuerk et al. 860-861

A nulla párosságát elfogadó felnőttek sem mind érzik ezt a tényt egészen természetesnek. Lelassul a reakcióidejük a többi páros számhoz képest, és hibákat ejtenek, amikor a nulla paritásáról kell dönteniük. A kísérletben a számokat számjegyekkel vagy betűkkel kiírva vetítik a kísérleti alanyok elé, és a számítógép feljegyzi a kivetítés és a gomb lenyomása közötti időt. Az első kísérleteket Stanislas Dehaene végezte az 1990-es évek elején. Kimutatták, hogy a nulla páros voltát nehezebb eldönteni, mint a többi számét. A kísérlet egyes változatai 60 ezredmásodperces, vagy 10%-os késést jeleztek; ez kicsi, de szignifikáns.

Az oktatásban Egy szám páros, ha 2 egész számú többszöröse. A nulla egész számú többszöröse 2-nek, ezért a nulla páros.

Matematikai szempontból nincs szükség további bizonyításra, de ez a tény további magyarázatra szorul, az első három osztályban a gyerekek ugyanis nem értik a fenti definíciót.Amerikai Egyesült Államok, Kanada, Nagy-Britannia, Ausztrália, Izrael, de Magyarország is Levenson p. 85. Magyarország: Kuruczné Borbély Márta: Az én matematikám. 1. osztálySee Ball's keynote for further discussion of appropriate definitions. Vannak olyan tanulók, akik ekkor még nem ismerik az egész szám fogalmát, és azt sem tudják, mit jelent a többszörös szó.Lásd Ball jegyzetét a pontos definíciókhoz. A páros és a páratlan számok közötti különbségtétel önkényesnek látszhat a gyerek szemében. A számkör bővítésekor segíthet, hogy a párosság fogalmát nem lehet akárhogy kiterjeszteni.

A nulla páros voltának életkornak megfelelő magyarázata visszamegy a konkrét objektumok párba állítására. Hasonlóan szemléltethető a páros és páratlan számok váltakozása. Gyermeknek a nulla páros volta úgy szemléltethető legkönnyebben, hogy minden páros szám két páratlan közt helyezkedik el a számegyenesen, és a nulla is.

A nullával kapcsolatos hitek abból a meggondolásból is eredhetnek, hogy a nulla semmit jelent, és a semminek nincsenek tulajdonságai.

Szemléltetés

thumb|alt=Baloldalt a kis képek 0 és 4 párba állított fehér tollat mutatnak; jobboldalt a pár nélküli toll piros színű| Nincs piros maradék toll a nulla tollat mutató képenCompare Lichtenberg Fig. 1 Az általános iskolai tanítás elején tárgyak megszámlálására használják a számokat. Egy lehetőség a párosság fogalmára kettes csoportok képzése. Ha a halmaz összes elemének jut pár, akkor a tárgyak száma páros; ha egy kimarad, akkor nem.

A nulla az üres halmaznak felel meg, aminek nincs eleme. Nulla párt tartalmaz, és nem marad ki semmi, ezért a nulla páros. Mivel nulla páros elég rosszul mutat a rajzon, így jobb, ha az üres halmazt más halmazokkal hasonlítjuk össze.Lichtenberg p.536

Ha a számegyenesen különböző színűre színezzük a páros és a páratlan számokat, akkor megjelenik a minta: center|alt=Egészek -4-től 10-ig; a páros számokat karikák, a páratlanokat pontok jelzik| Egészek -4-től 10-ig; a páros számokat karikák, a páratlanokat pontok jelzik A páros és a páratlan számok váltakoznak. Egy páros számtól elindulva mindig páros számokra lépünk, ha kettesével megyünk jobbra vagy balra, és semmi ok sincs arra, hogy átugorjuk a nullát.Lichtenberg p.537; compare her Fig. 3

Később, amikor a tanulók már ismerik a bonyolultabb műveleteket, akkor a párosságot be lehet mutatni azáltal, hogy minden egész szám kifejezhető vagy alakban, ahol k egész. Az 1 például páratlan, mert , és a nulla páros, mert .Lichtenberg pp.537-538

A tanulók ismeretei

thumb|upright=1.8|alt=Bar chart; see description in body text|%-os válaszok időreFrobisher p.41