Az induktív dimenzió a topológiában használatos dimenziófogalmak egyike, amely egy alakzat dimenzióját teljes indukcióval definiálja azt kihasználva, hogy egy test határa általában eggyel kisebb dimenziójú, mint maga a test. Attól függően, pontosan hogyan definiáljuk az eljárást, két némileg különböző fogalomhoz jutunk: a kis induktív dimenzióhoz (ind(X)) illetve a nagy induktív dimenzióhoz (Ind(X)).
Definíció Kis induktív dimenzió Az topologikus tér kis induktív dimenziója így definiálható:
, ha minden pontra és minden nyílt környezetéhez van -nek nyílt környezete, hogy , és . , ha és nem , ha nincs , amire az egyenlőtlenség fennáll. Nagy induktív dimenzió Ha a kis induktív dimenzió definíciójában az pontot egy tetszőleges zárt halmazzal helyettesítjük, akkor a nagy induktív dimenzió fogalmához jutunk. Pontosabban: az topolgikus tér nagy induktív dimenziója így definiálható:
, ha minden halmazhoz, és minden környezetéhez van -nak egy nyílt környezete, hogy és . , ha és nem , ha nincs , amire az egyenlőtlenség teljesül.
Megfigyelések Az állítás formálisan így írható fel: minden pontnak van olyan környezetbázisa, ami kis induktív dimenziós határú zárt halmazokból áll. Mivel minden pontnak kell, hogy zárt környezetekből álló környezetbázisa van, ezért a fogalomnak csak reguláris terekben van értelme. Az állítás így formalizálható: minden diszjunkt zárt halmaznak van és nyílt környezete, hogy , és . Mivel ez az állítás felteszi, hogy teljesül az elválasztási axióma, ezért a fogalomnak csak normális terekben van értelme. Míg a kis induktív dimenzió a tér pontjaira is értelmes, addig a nagy induktív dimenzió csak az egész térre vonatkoztatható, a pontokra nem. Tételek Egyenlőtlenségek Ha metrikus tér, akkor M. Katětov tétele szerint
.
P. S. Alexandrov egy tétele miatt a kompakt Hausdorff-tereken:
.
Szeparábilis (megszámlálható bázisú) metrikus terekre egyenlőség áll fenn:
.
K. Nagami konstruált egy normális teret, amire , és . Kompaktifikáció Jelölje azt a legbővebb kompakt Hausdorff-teret, ami -et sűrű altérként tartalmazza (Stone-Čech-kompaktifikáció). Ekkor N. Wendenisow: Ha normális, akkor . J. R. Isbell: Ha normális, akkor . A kis indukcióra nem teljesülnek a fentiekkel analóg állítások. Részhalmaztétel és teljesítik a teljes metrikus terek részhalmaztételét: Ha teljes normális tér, és , akkor , és . Összegtétel Ind eleget tesz a teljes normális terek összegtételének: C. H. Dowker: Ha teljes normális tér, és zárt halmazok sorozata, hogy , akkor . Nem teljes normális terekre a tétel állítása nem teljesül sem a kis, sem a nagy induktív dimenzióra, még a kompakt Hausdorff-terekre sem. Szorzattétel Akkor mondjuk, hogy egy dimenziófogalom eleget tesz a szorzattételnek, ha két tér szorzatterének dimenziója becsülhető a tényezők dimenzióinak összegével:
. Ha és nem üres reguláris Hausdorf-tér, akkor . Egy normális tér perfekt, ha bármely két disjunkten diszjunkt zárt halmazhoz van egy folytonos függvény, hogy és . Ha perfekt normális tér, metrizálható és egyik sem üres, akkor . A dimenzióra hasonlóak igazak: ha és is metrizálható, vagy ha parakompakt, és kompakt.
Források Keiô Nagami: Dimension Theory, Academic Press (1970)
Kategória:Topológia