Hippiász-féle kvadratrix|thumb|220px|right
A kvadratrix (triszektrix, Hippiász-görbe, Hippiász görbéje, Hippiász-féle kvadratrix, Hippiász-féle triszektrix, D(e)inosztratosz-féle kvadratrix stb.) a matematikában egy nevezetes síkgörbe, amelynek feltalálását az éliszi Hippiásznak (i. e. 460 körül – i. e. 400 körül) tulajdonítják.Egyes matematikatörténészek kétségbe vonják, hogy a görbét feltaláló, Hippiász nevű geométer azonos az éliszi Hippiásszal, a neves szofistával, mondván, hogy az éliszi korában a matematika még nem érte el a görbe feltalálásához szükséges fejlettséget - de az antik görög és európai tudománytörténeti hagyomány nem kételkedik az éliszi szerzőségében. Ld. Hippias of Elis, The MacTutor History of Mathematics archive. Link beill. 2010. 02. 04.
Nevezetessége abban áll, hogy egy, az euklideszi síkon rendelkezésre álló quadratrix segítségével - amint erre már az említett Hippiász, ill. később Deinosztratosz is rámutatott - megoldhatóak lennének a szögharmadolás (triszekció) és a körnégyszögesítés (kvadratúra) nevű, klasszikus és híres antik görög geometriai problémák. Minthogy azonban a görbe összes pontja nem szerkeszthető meg euklideszi módon, ezért a kvadratrix nem jelent „szabályos” megoldást. Közelítő jellegű megoldásra viszont alkalmas.
Története A neves angol matematikatörténész, T. L. Heath szerint Hippiász i. e. 420 körül találhatta fel a görbét;Heath, Thomas Little: A History of Greek Mathematics I. (Oxford, 1921). Hippiász műve azonban, amelyben leírta a kvadratrixot (ha egyáltalán létezett), nem maradt fenn.
Bizonyos jelek arra utalnak, hogy a rhodoszi Geminusnak még volt egy példánya ebből a műből, és az tartalmazta annak leírását, hogyan kell a görbét a szögfelosztáshoz és körnégyszögesítéshez felhasználni; ma már egy példányt sem ismerünk belőle.Hippias of Elis, The MacTutor History of Mathematics archive. Link beill. 2010. 02. 04.
Azonban Papposz, a neves görög életrajzíró egyik műve (a Szünagogé, i. e. 340.; IV. könyv.) tárgyalja a görbe definícióját.
Teljesen bizonyos viszont, hogy Deinosztratosz ismerte a görbét, és felhasználta a – nem-euklideszi módon való – körnégyszögesítéshez.
Származtatása A görbe elemi és eredeti származtatása
thumb|right|200px|I. ábra. Hippiász kvadratrixe (pirossal)
thumb|right|150px|II. ábra. A kvadratrix származtatása egyenletesen mozgó alakzatok metszéspontjakéntPontosabb (tengelybeosztásos) animáció - ld. Xah Lee: Visual Dictionary Of Special Plane Curves/Quadratrix of Hippias
Legyen ABCD négyzet, az R = AB = AD sugárral az A körül írt negyedkörrel együtt. Tekintsük az AD helyzetből az AB helyzetbe egyenletesen (állandó sebességgel) forgó - a mellékelt ábrán az óramutatók járásával egyező módon járó, negatív forgásszöget leíró - sugarat! Legyen ennek helyzete a mozgás valamely t időpillanatában AE, pontosabban - mivel az E=E(t) pont függ a „t” időtől - AE(t)! Tekintsük továbbá az DC helyzetből a AB helyzetbe egyenletesen (állandó sebességgel) eltolt (tehát kezdeti helyzetével mindig párhuzamosan mozgó, a szomszédos oldalakra pedig mindig merőleges) négyzetoldalt (v. egyenest). Legyen ennek az egyenesnek a t időpontban metszéspontja az AD oldallal F(t), a BC oldallal G(t)!
Mozogjon továbbá az AD sugár és a CD egyenes(szakasz) úgy, hogy mozgásuk egyszerre kezdődjön és egyszerre is érjen véget!
Ez esetben a két mozgó alakzat, vagyis az AE sugár és a FG egyenes metszéspontjainak (P(t)) mértani helye épp a kvadratrix. Ez a metszéspont mellesleg mindig létezik (bár ennek bizonyításával sem a görögök, sem az utánuk jövők vélhetően nem foglalkoztak), és a származtató vonalak egyetlenegy helyzetét kivéve (a végsőt, amikor mindkettő, a sugár és az eltolt négyzetoldal, egybeesik az AB szakasszal), mindig egyértelmű. De ebben a „kivételes”, irreguláris helyzetben is definiálható, differenciálgeometriai módszerrel, a görbének olyan pontja az AB szakaszon), hogy azzal kiegészítve is egy folytonos és egyszerű görbét kapjunk (ld. még folytonos folytatás).
Bár megtévesztően másképp látszhat, a két mozgás nem ugyanolyan gyors (annak ellenére, hogy ugyanakkor kezdődik és ugyanakkor fejeződik be), hiszen az E pont jóval hosszabb utat tesz meg, mint az F és G pontok. Válasszuk időegységnek a lezajló mozgások időtartamát, ennek előnye, hogy ekkor az alakzatok által megtett út egyezik a sebességükkel: az E pont egységnyi idő alatt K utat tesz meg (K a negyedkör kerülete, R a sugarának hossza), ahol K = (2Rπ)/ 4 = Rπ/2 az F és G pontok egységnyi idő alatt R utat tesznek meg, tehát az E pont, ill. az AB sugár sebessége épp π/2-szerese az FG szakasz sebességének (azaz körülbelül 1,57-szorosa), adott időtartam alatt mindig ennyiszer nagyobb utat tesz meg a sugár köríven fekvő végpontja.
Az „irreguláris” pont
A görbének van egy „irreguláris” pontja, nevezetesen a t=1 időpillanatnak megfelelő pont (az I. ábrán a „legalsó”, az AB szakaszon lévő, betűjelölés nélküli, piros pont) a Hippiász-féle konstrukcióval nem kapható meg. Hippiász módszerével ugyanis a t=1 időpillanatban nem pontot kapnánk, hanem az egész AB szakaszt, hiszen e pillanatban a sugár már legördült az AB-szakasszá, és az eltolás is az AB-be vitte a DC-n átmenő négyzetoldalt, tehát az AE(1) = AB szakasz metszetét kellene az F(1)G(1) = AB szakasszal képezni, ami maga az AB szakasz.
Bizonyítható azonban, hogy az AB szakaszon pontosan egy olyan pont található, amely a P(t) metszéspontok halmazának (az összes 0≤t<1 értékre) az euklideszi síkon mint metrikus térben a torlódási pontja ; mégpedig az a P(1) := Q osztópont, amelyre AQ:AB = 2/π. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy ha egyre inkább közeledünk a t=1 időpillanat felé, azaz a mozgás végéhez, akkor a Hippiász-féle görbe addigi pontjai egyre közelebb lesznek a Q ponthoz (ahogyan a II. ábrán ez látható).Ld. Kürschák József: A körmérés története és elmélete; Mathematikai és Physikai Lapok, I. évf. (1892) / 1.-2., 3., és 5. sz., 1. sz. 40. o.
Ha a 0≤t<1 paraméterű görbepontokhoz hozzávesszük ezt a Q pontot, az I. ábrán látható folytonos, hagyományos értelemben vett görbét kapjuk.
Mivel a Q pont osztóviszonya a π reciprokának kétszerese, a kvadratrix Q pontját megszerkesztve a π hosszúságú szakasz is euklideszi módon megszerkeszthető lenne, amiből következne a körkvadratúra és a körrektifikáció megoldása. Valójában azonban éppenséggel a Q a kvadratrix egyik nem-szerkeszthető pontja. Emiatt a körrektifikációs és körkvadratálási szerkesztési feladatok a kvadratrix segítségével sem oldhatóak meg euklideszi módon, csak ha valamilyen más módszerrel sikerül megrajzolni a teljes kvadratrixot (azonban ez már nem euklideszi megoldás).
A görbe explicit képlete
thumb|250px|right|III. ábra: A kvadratrix egyenletének levezetéséhez szükséges jelölések.
Mai jelölésekkel Hippiász leírásából adódik a kvadratrix (ún. explicit) egyenlete, továbbá a paraméteres egyenletrendszere, ha az D pontba mint origóba olyan Descartes-féle ℜ koordináta-rendszert illesztünk, amelynek x-tengelye a DA, y-tengelye a DC egyenes.Ez azért meglehetősen természetes választás, mert így az egyik származtató segédalakzat, a mozgó húr elmozdulása épp az x-koordináta, ráadásul a kapott végeredmény is meglehetősen egyszerű lesz. Felhívjuk a figyelmet, hogy az x-tengely így függőleges, az y-tengely pedig vízszintes, eltérően a szokásos hagyománytól. Az ábrát (+)90°-kal, az óramutató járásával ellentétesen forgatva, kapnánk a szokott koordináta-rendszert. koordináta-rendszer Ekkor ugyanis az F(t) pont a t időpillanatban éppen az x=tR (első) koordinátájú helyen tartózkodik, hiszen t idő alatt, ha sebessége R volt, épp ennyi utat tett meg. Tehát F(t)=(x,0)ℜ.
Ezalatt - az előző szakasz megállapításait és feltételeit (t∈[0;1]) figyelembe véve - az E(t) pont olyan φ szöggel fordul el D-ből, amelynek íve épp π/2-szer akkora, mint a G által megtett út, azaz x, tehát a szög íve xπ/2, ekkor viszont ívmértékben mérve úgy kapjuk e szöget, ha ívét osztjuk a sugár hosszával, ez a szög tehát éppen φ=xπ/2R rad nagyságú.
A tengelyekre merőlegesen levetítve az E(t) pontot, adódnak az E1=(0, e1)ℜ és E2=(e2,0)ℜ pontok. Ezekre érvényes - a szögfüggvények elemi definíciója szerint - AE1 = e1(t) = Rsin(φ) = E2E és E2A = R-e2(t) = Rcos(φ). A görbe definíciója szerint a P(t) kvadratrix-pont éppen az AE(t) egyenes(szakasz) (sugár) metszéspontja az x=x(t)=t egyenletű egyenessel (vagyis azzal, ami F(t)-ben merőlegesen metszi az x-tengelyt). A P(t) merőleges vetületei legyenek P1=(p1, 0)=(x,0) és P2=(0, f2)=(0,y), tehát f1(t)=x(t)=x és f2(t):=y(t)=y, ekkor hasonlóak a következő háromszögek: AEE2Δ ≅ APP2Δ.
Emiatt: ; azaz
Tehát (y-t kifejezve, rendezve és egyszerűsítve, valamint behelyettesítve φ helyébe xπ/2R-t):
Ha meg akarunk felelni az ábra I. koordinátasík-negyedbe való korlátozottságának, akkor ki kell kötnünk még azt is, hogy x∈[0,R).
Megjegyzések: Diszkusszió: A fenti levezetés nem érvényes abban a helyzetben, amikor E2A = P2A = 0, vagyis amikor t=1, azaz ha x=R, azaz ha φ=π/2. Ebben a helyzetben a képleteknek sincs értelme, mivel a nevezőben a koszinusz nullává, így a tangens értelmezhetetlenné válik. Ezért szükséges nemcsak az x∈[0,R], hanem a szigorúbb x∈[0,R) kikötés. Vagyis a képlet az „irreguláris” pontra éppúgy nem érvényes, mint a Hippiász-féle definíció. Az ábrákon tulajdonképpen egy lyukas körrel kellene jelezni, hogy az AB oldalra eső pont valójában nem része a görbének. Mivel azonban a görbe folytonosan folytatható ebben a pontban,Ld. fentebb. túl nagy félreértés nem fenyeget. Más derékszögű koordináta-rendszerek: Néhány szerző (pl. Kürschák József) apró változtatásokkal tárgyalja a görbét, pl. a származtató mozgást „visszafelé játszva” tekinti a fent leírthoz képest. Ez azzal a didaktikai hátránnyal jár, hogy a görbe elsőként meghatározott pontja rögtön irreguláris. Mindenesetre, ugyanúgy adható explicit képlet a görbére, például, ha a koordináta-rendszer origóját a B pontba rögzítjük, x-tengelynek a BC egyenest, y-tengelynek a BA egyenest vesszük, akkor a görbét megadó képlet:
Paraméteres egyenletrendszer
Az explicit képletből egyenesen adódik a paraméteres egyenletrendszer.
ahol t∈[0;1). Ezt a kikötést elhagyva, a görbe kiterjesztése minden valós paraméterre, természetesen adódik (ld. id. szakasz).
Kiterjesztések A paraméterektől az x=t helyettesítéssel megszabadulva, a kvadratrix egyenlete az adott Descartes-féle koordináta-rendszerben:
, ahol R tetszőleges valós állandó.
thumb|right|300px|A kvadratrix mint függvény: az eredeti Hippiász-görbe egyenlete által adott grafikon a valós számok [0,2] zárt intervallumán ábrázolva. Összevetve Hippiász mozgásos definíciójával: A származtató negyedkör középpontja (1;0), a forgósugár másik, a forgást végző végpontja az origóból - (0;0) - indul, a mozgó húr kezdeti helyzete az y tengellyel esik egybe, és az x tengely pozitív iránya felé tolódik el, a tengelyre merőlegesen thumb|right|350px|A fenti grafikon kisebb nagyításban
Alkalmazások
szögharmadolás körnégyszögesítés
A körnégyszögítés
A körnégyszögesítéshez - amint ezt Dinosztratosz és Papposz is megjegyezte - elegendő az irreguláris pont megszerkesztése. Sajnos ez éppenséggel egy nem szerkeszthető pont. Ennélfogva a kvadratrix nem jelent megoldást az euklideszi szerkesztések szempontjából.
Jegyzetek
Hivatkozások
Lásd még szögharmadolás körnégyszögesítés
További irodalom
Dr. Darvasi Gyula: Síkgeometriai alapszerkesztések betoló vonalzóval (II. rész). A matematika tanítása (módszertani folyóirat); XIX. évf. 3. sz. (2011). Mozaik Kiadó, Szeged; ISSN 1216-6650. 19-20. o.
További információk Gérard P. Michon: Final Answers - Planar Curves. A „Numericana” projekt honlapja. Link beill. 2010. 02. 04. Crockett Johnson: Hippias' Curve - a kvadratrix egy absztrakt festményen. A National Museum of American History (Az Amerikai Történelem Nemzeti Múzeuma) honlapjáról. Link beill. 2010. 02. 13.
Kategória:Görbék