A matematikában az binomiális együttható a binomiális tételben előforduló együttható, ami a matematika különböző ágaiban bír jelentőséggel. Az kifejezést a magyarban így olvassák: „n alatt a k”.
Algebrai megközítésben az kifejtésében az együtthatója. A kombinatorikában egy n elemű halmaz k elemű részhalmazainak a száma, ami azt mutatja meg, hányféleképpen választható ki k elem n különböző elem közül.
Az jelölést Andreas von Ettingshausen vezette be 1826-ban, habár a számokat már századokkal előtte is ismerték (lásd Pascal-háromszög). Alternatív jelölések a , , , melyek mindegyikében a C betű a kombinációkra utal.
Definíció
Az n és k természetes számoknál, az binomiális együtthatót az egytagú együtthatójaként lehet leírni az kifejezésben. Ugyanez az együttható fordul elő, ha k ≤ n a binomiális tételben. , ami megmagyarázza a „binomiális együttható” nevet.
A binomiális együttható jelöli a kombinatorikában azt a számot, ahányféleképpen ki tudunk választani n különböző elemből k darabot, feltéve, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít és minden elem legfeljebb egyszer választható (n elem k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma); ezzel ekvivalens, hogy egy n-elemű halmazban a k-elemű részhalmazok (vagy k-kombinációk) számát is a binomiális együttható adja meg.
Rekurzív képlet
Van egy rekurzív képlete a binomiális együtthatóknak.
ezekkel a kezdőértékekkel:
A képlet vagy megszámolja a kitevőket Xk-ig -ben, vagy a } k'''-kombinációit számolja meg, külön-külön azt, ami tartalmazza az n-et és ami nem. Ebből adódik, hogy amikor k > n, és minden n-re, hogy az ilyen eseteknél a rekurzió megállhasson. Ez a rekurzív képlet lehetővé teszi a Pascal-háromszög szerkesztését.
Szorzási képlet Egy, egyedi binomiális együtthatók kiszámítására alkalmazott, hatékonyabb módot ez a képlet jeleníti meg:
Ezt a képletet legkönnyebb megérteni a binomiális együttható kombinatorikai értelmezéséhez. A számláló megadja a k eltérő tárgyak számsorának n tárgyak halmazából való kiválasztásához szükséges eljárások számát, megőrizve a kiválasztás sorrendjét. A nevező megszámolja az eltérő számsorok számát, amik ugyanazt a k-kombinációt határozzák meg, amikor nem vesszük figyelembe a sorrendet.
Faktoriális képlet Végül, van egy faktoriálisokat használó könnyen megjegyezhető képlet:
ahol n! az n faktoriálisát fejezi ki. Ez a képlet a fenti szorzási képletből adódik a számláló és nevező -sal való megszorzásával; következményképpen a számláló és nevező sok közös tényezőjét magában foglalva. Kevésbé praktikus nyílt számításra, hacsak nem iktatjuk ki a közös tényezőket először (mivel a faktoriális értékek nagyon gyorsan nőnek). A képlet egy szimmetriát is mutat, ami nem annyira nyilvánvaló a szorzási képletből (habár a definíciókból jön)
Tulajdonságai A binomiális együtthatók összege
Ez éppen egy n elemű halmaz részhalmazait számolja le elemszám szerint. Az összegzési képlet levezethető a binomiális tételből az helyettesítéssel.
Alternáló összeg
minden .
Kombinatorikai jelentése: egy halmaznak ugyanannyi páros, mint páratlan elemszámú részhalmaza van. A képlet páratlan n-re azonnal következik a szimmetriából. Tetszőleges n-re belátható a binomiális tétellel és az és (vagy és ) helyettesítéssel.
Eltolt összeg
Vandermonde-azonosság
Az állítás kombinatorikai érveléssel belátható:
Vegyük gömbök n+m elemű halmazát, amiben m gömb piros. Leszámláljuk a gömbök k elemű részhalmazait aszerint, hogy mennyi piros gömböt tartalmaznak.
Egy másik bizonyítás az felbontásból és az együtthatók összehasonlításából adódik.
Alkalmazásai A binomiális együtthatóknak több különféle alkalmazása van. A kombinatorikában A binomiális együtthatók központi szerephez jutnak a leszámláló kombinatorikában, ahol is az n elemű halmaz k elemű részhalmazainak száma, vagyis ennyiféleképpen lehet n elem közül kiválasztani k-t a sorrend figyelembe vétele nélkül.
Szemléletesen, kiszámítjuk az összes n hosszú sorozatot, majd kiválasztunk k helyet, és azt akarjuk tudni, hogy hányféleképpen tölthetők fel ezek a helyek. Mivel az elemek sorrendje nem játszik szerepet, ezért osztani kell k!-sal; és mivel az érdektelen elemek sorrendje szintén nem fontos, ezért osztunk (n-k)!-sal is.
Az analízisben Binomiális sorok Ha , és akkor , amely binomiális sor a mértani sorok általánosítása.
Hogyha , és , akkor a
binomiális sor szintén konvergál. A bétafüggvény Teljes indukcióval bizonyítható minden -re, hogy , a szimmetria miatt
A bétafüggvény kiterjeszthető a komplex számok halmazára, ha , és . A gammafüggvény Minden -re: . esetén a törtek felírhatók integrálokként
a hatványokat a binomiális képlet szerint összegezve , ahol az utolsó integrálban t-t helyettesítünk t/n-be. Be kell még látni, hogy a helyettesítések elvégezhetők, és a főbb tulajdonságok megmaradnak. Így az egyenlőtlenség a
alakot nyeri, ahol a határátmenet éppen a Gauss-féle , alakot adja.Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+…, 1813, S. 26 (auch in Carl Friedrich Gauß: Werke. Band 3, S. 145) A digamma és az Euler-Mascheroni konstans Minde -re, amire , ami szerinti indukcióval belátható. Az speciális esetre az egyenlet . Az összeget a sorral helyettesítve
ahol Euler-Mascheroni-konstans és a digammafüggvény, interpolálja a sorozatot.
Általánosításai A binomiális együtthatónak több általánosítása is létezik.
A szorzási képlet alapján általánosítható valós a-kra és egész k-kra:
Minden a-ra és k=0-ra az értéke 1, és minden a-ra és negatív k-kra az értéke 0.
A multinomiális együtthatók az (x1+x2+ … + xm)n alakú polinomok együtthatói. A faktoriális képlet általánosításával számíthatók:
ahol minden ki nemnegatív, és összegük egyenlő n''-nel.
Kapcsolódó szócikkek Pascal-háromszög Binomiális együtthatók listája
Jegyzetek
Fordítás
Források
Kategória:Kombinatorika Kategória:Nevezetes számsorozatok