A matematikában egy függvény szélsőértéke olyan pontban vett érték, amelynél a függvény egy adott környezetében, vagy az egész értelmezési tartományában nem vesz fel nagyobb vagy kisebb értéket. A függvény egy adott környezetében lévő szélsőérték pontosabb elnevezéssel helyi szélsőérték, míg a függvény teljes értelmezési tartományán megállapított szélsőérték a globális szélsőérték.
Valós függvény szélsőértéke Globális szélsőérték Ha f valósokon értelmezett valósértékű függvény, akkor f globális vagy abszolút szélsőértékeinek nevezzük értelmezési tartományának maximumát illetve minimumát.
Pl.: a függvény maximuma az 1, amit az helyeken vesz fel, és minimuma -1, amit pedig az helyeken vesz fel. Weierstrass-tétel
Weierstrass tétele kimondja, hogy minden korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek létezik mindkét abszolút szélsőértéke.
Lokális szélsőérték y f függvény lokális vagy helyi szélsőértéke, ha létezik olyan nyílt halmaz, f-nek amire vett leszűkítésének y abszolút szélsőértéke.
Pl.: lokális minimuma 0 a 0 helyen.
Differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezésének szükséges feltétele
Egy Fermat-tól származó tétel kimondja, hogy differenciálható függvény helyi szélsőértékéhez húzott érintő párhuzamos az abszcissza-tengellyel, azaz, ha f teljes értelmezési tartományában differenciálható, akkor lokális szélsőértékeit csak azokon az x helyeken veheti fel, ahol .
Differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezésének szükséges és elegendő feltétele Legyen -edik deriváltja egy környezetében folytonos, és , továbbá . Ekkor helyen pontosan akkor veszi fel lokális szélsőértékét, ha páros, mégpedig, és ha létezik szélsőérték, abban az esetben, ha , minimuma van, ellenkező esetben pedig maximuma. Bizonyítás A Taylor-formula szerint minden pontjához létezik olyan , hogy , azaz
Legyen , ekkor folytonossága miatt létezik olyan , hogy minden -ra . Tegyük fel, hogy páros, , és , ekkor , azaz , következésképp -nek helyen lokális minimuma van. Ha páratlan, akkor, ha , akkor , ha viszont , akkor így helyen a függvénynek nincs szélsőértéke. esetben a maximum létezése, ill. nem létezése nagyon hasonlóan látható be.
Kategória:Analízis