A matematikában a hatványközepek a püthagoraszi közepek – úgy mint számtani, mértani, harmonikus – általánosításai. A hatványközepek további általánosítása a kváziaritmetikai közép, aminek értelmezés
Ha itt f(x) = xp, akkor visszajutunk a hatványközepekhez. Definíció Legyenek nemnegatív valós számok. Ekkor ezen számok -adik hatványközepe:
Legyenek emellett pozitív súlyok, és , ekkor definiálhatjuk súlyozott hatványközepét:
Egyre normálva: , ahol
Nevezetes hatványközepek minimum harmonikus közép mértani közép számtani közép négyzetes közép maximum
A hatványközép határértékei Maximum és minimum , ugyanis legyen és , ekkor , . Mértani közép , ahol . A L’Hospital-szabály szerint , kihasználva az exponenciális függvény() folytonosságát .
Homogenitása A legtöbb középértékhez hasonlóan homogén, azaz, ha , akkor tetszőleges -ra
Bizonyítás . További tulajdonságai A hatványközepek mindig az adatok minimuma és maximuma közé esnek. A hatványközepek szimmetrikusak, argumentumaik permutálása nem változtat az értéken. Mivel a hatványközepek kváziaritmetikai közepek, blokkosíthatók:
Hatványközepek közti egyenlőtlenség
A hatványközepek közti egyenlőtlenség kimondja, hogy az függvény a teljes értelmezési tartományán monoton nő. Azaz, ha , akkor .
A fentiek szerint a hatványközepek közti egyenlőtlenség magában foglalja a püthagoraszi közepek közti egyenlőtlenséget. Felhasználása A hatványközepek nemlineáris mozgóátlagot jelentenek, ami kis p-re a kis értékek felé, nagy p-kre a nagy értékek felé tolódik el. Kis p-kre tömegspektrum bázisvonalának detektálására, nagy p-kre görbék burkológörbéjének meghatározására használják.
Ha adva van a smooth függvény, ami mozgó számtani közepet számol, akkor a mozgó hatványközép definiálható a következő Haskell kóddal:
powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a] powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p) Fordítás
Kategória:Középértékek Kategória:Matematikai tételek