A Riemann-tenzor vagy Riemann–Christoffel-tenzor a tér görbületét leíró tenzor, melyet Bernhard Riemannról és Elwin Bruno Christoffelről neveztek el.
Definíció
A sokaság belső geometriájára jellemző görbületet a görbületi tenzor vagy Riemann-tenzor írja le. Az u és v vektormezők kommutációs tulajdonságait vizsgálva, definiálhatjuk a következő vektort
Itt nabla a kovariáns deriváltat jelöli. A fenti egyenletben fellépő R tenzort nevezzük görbületi vagy Riemann-tenzornak.
A Riemann-tenzor lokális koordinátákban
A Riemann-tenzort felírhatjuk lokális koordinátákban a Christoffel-szimbólumok segítségével:
ahol , és a kétszer előforduló indexekre automatikus összegzés értentő (Einstein-féle összegzési konvenció).
A teljesen kovariáns alakja pedig a következő
itt a metrikus tenzort jelöli.
Bianchi-azonosságok
A Riemann-tenzorral kapcsolatban bebizonyíthatóak az ún. Bianchi-azonosságok.
Az első Bianchi-azonosság a következő:
Ezt szokás az alábbi rövidebb formában is használni:
itt a szögletes zárójel a tenzor antiszimmetrikus részét jelöli.
A második Bianchi-azonosság pedig a következő alakú:
vagy rövid formában
ahol a pontosvessző a kovariáns deriváltat jelöli.
Szimmetriái
A Riemann-tenzor az indexpárjaiban szimmetrikus
Az első két indexében és az utolsó két indexében pedig antiszimmetrikus:
Források
Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó. Budapest. 1976 Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó. 1963 Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006.
Kategória:Általános relativitáselmélet Kategória:Differenciálgeometria